*   在相似多边形中,最简单的就是相似三角形(similar triangles). 在△ABC和△A’B’C’中,如果 ∠A=∠A’, ∠B=∠B’, ∠C=∠C’, 我们就说△ABC与△A’B’C’相似,记作:△ABC∽△A’B’C. k就是它们的相似比. 如果k=1,这两个三角形有怎样的关系?        如图,在△ABC中,点D是边AB的中点,DE//BC,DE交AC于点E, △ADE与△ABC有什么关系? 思 考 ？     直觉告诉我们, △ADE与△ABC相似,我们通过相似的定义证明这个结论. 先证明两个三角形的对应角相等. 在△ADE与△ABC中, ∠A=∠A, ∵DE//BC, ∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C. 再证明两个三角形的对应边的比相等. 过E作EF//AB,EF交BC于F点. 在平行四边形BFED中,DE=BF,DB=EF. ∴AD=EF. 又∠A=∠1, ∠2=∠C, ∴△ADE≌△EFC, DE=FC=BF=  BC. ∴AE=EC=  AC, ∵AD=DB=  AB, 即:△ADE与△ABC中,  ∠A=∠A,∠ADE=∠B, ∠AED=∠C.      AD=  AB,      AE=  AC,       DE=  BC. ∴AD:AB=AE:AC=DE:BC=1:2    这样,我们证明了△ADE和△ABC的对应角相等,对应边的比相等,所以它们相似,相似比等于0.5. △ADE≌△ABC    改变点D在AB上的位置,继续观察图形,容易进一步猜想△AD’E’与△ABC仍有相似关系．因此，我们有： 　　平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角相似．     上面我们根据相似三角形的定义，通过证明两个三角形的对应角相等，对应边的比相等得到了一个关于三角形相似的结论．学习三角形全等时，我们知道，除了可以通过证明对应角相等，对应边相等来判定两个三角形全等外，还有判定的简便方法（SSS，SAS，ASA，AAS）．类似地，判定两个三角形相似时，是不是对所有的对应角和对应边都要一一验证呢？     类似于判定三角形全等的方法，我们能还能通过三边来判断两个三角形相似呢？ 　　在一张方格纸上任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的Ｋ倍，度量这两个三角的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？与邻座交流一下，看看是否有同样的结论．     容易发现,这两个三角形是相似的,我们可以利用上面的结论进行证明. 如图,在△ABC和A’B’C’中, 求证:△ABC∽△A’B’C’.            要证明△ABC∽△A’B’C’，可以先作一个与△ABC全等的三角形，证明它△A’B’C’与相似．这里所作的三角形是证明的中介，它把△ABC与△A’B’C’联系起来． 证明：在线段A’B’（或它的延长线）上截取A’D=AB，过D点作DE//B’C’，交A’C’于点E，根据前面的结论可得△A’DE∽△A’B’C’． 　　　由此我们得到利用三边判定三角形相形相似的方法： 　　  如果两个三角形的三组应边的比相等，那么两个三角形相似． 　　类似于判定三角形全等的方法，我们能通过两边和夹角来判断两个三角形相似呢？ 　　　实际上，我们有利用两边和夹角判定两个三角形相似的方法．     如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角相似.     如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角相似.     类似于证明通过三边判定三角形相似的方法,请你自己证明这个结论. 思 考 ？     对于△ABC和△A’B’C’, 如果                  , ∠B=∠B’,这两个三角形一定相似吗?试着画画看. 例1:根据下列条件，判断△ABC与△A’B’C’是否相似，并说明理由． (1)∠A=1200,AB=7cm,AC=14cm. ∠A’=1200,A’B’=3cm,A’C’=6cm. (2)AB=4 cm,BC=6cm,AC=8cm, A’B’=12cm,B’C’=18cm,A’C’=21cm. △ABC与△A’B’C‘的三组对应边的比不等，它们不相似． ∽ 要使两三角形相似，不改变的AC长，A’C’的长应改为多少？ 1.根据下列条件,判断△ABC与△A’B’C’是否相似,并说明理由: (1) ∠A=400,AB=8,AC=15,   ∠A’=400,A’B’=16,A’C’=30; (2)AB=10cm,BC=8cm,AC=16cm,A’B’=16cm,B’C’=12.8cm,A’C’=25.6cm. 2.图中的两个三角形是否相似? 3.要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形框架的三边长分别为4、5、6,另一个三角形框架的一边长为2,它的另外两条边长应当是多少?你有几个答案?         观察两副三角尺,其中同样角度(300与600,或450与450)的两个三角尺大小可能不同,但它们看起来是相似的.        一船地,如果两个三角形有两级对应角相等,它们一定相似吗?  　   作△ABC和△A’B’C’，使得∠A=∠A’， ∠B=∠B’，这时它们的第三个角满足∠C=∠C’吗？分别度量这两个三角的边长，计算:   ，   ，  , 你有什么发现？     把你的结果与邻座的同学比较，你们的结论一样吗？△ABC和△A’B’C’相似吗？ AB   BC   CA A’B’  B’C’  C’A’ 　　利用计算机软件，改变这两个三角形边的大小，而不改变它们的角的大小，可以动态地观察对应边的比例关系，有条件的同学可以试一试．     我们可以得到判定两个三角形相似的又一具简便方法. ∠A=∠A’, ∠B=∠B’ △ABC∽△A’B’C’     如果一个三角形的两个角与另一具三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.     如果一个三角形的两个角与另一具三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.     类似于证明通过三边判定三角形相似的方法,请你自己证明这个结论. * 

27.2.1 相似三角形的判定.ppt