电子科技大学二零零 七 至二零零 八 学年第 1  学期期 末 考试
  量子力学  课程考试题  A 卷 （ 120 分钟） 考试形式： 闭卷    考试日期 200 8年   月    日
课程成绩构成：平时    20    分， 期中   10     分， 实验  0      分， 期末   70    分
一	二	三	四	五	六	七	八	九	十	合计														
一、填空（每空2分，共30分）
1、德布罗意关系为：。（没有写为矢量也算正确）
2、量子力学的状态由        波函数           描述，在体系空间r点处小体积元dτ内粒子出现的几率与       波函数模的平方  （|Ψ|2）           成正比。
3、非简并状态加上微扰后，能级会发生   移动   ；而简并状态加上微扰后，能级会发生   分裂   。
4、任意两个力学量A和B有共同的本征函数，则=  0   ，表明和   对易       。
5、力学量F的算符是 厄密  算符，其本征函数系组成  正交归一完备系  。
6、费米子组成的多粒子体系的波函数的特征是  交换反对称          ，玻色子组成的多粒子体系的波函数的特征是         交换对称                  。
7、泡利不相容原理指       任何两个全同费米子不能处于完全相同的状态                   。
8、一维线性谐振子的量子数取n的波函数为ψn(x)，其定态薛定谔方程为，与ψn(x)相对应的能量为。
9、粒子处于三维无限深势阱中，能量为，能量最低的三个能态的简并度分别为     1，3，3                  。（答对1或2个给1分，3个全对给2分）
二、简答题（每小题5分，共20分）
1、写出至少五个力学量的算符。
     （任意5个，正确一个1分）
2、简述测不准原理及其意义。
测不准原理：粒子的坐标和动量不可能同时准确测量。         （3分)
（更一般意义上，对于力学量A和B，若和不可对易，且，
则存在测不准关系：      ）    
意义：波粒二象性的反映；反映了把经典概念用于微观世界所受到的限制。 （2分）
3、什么是斯塔克（Stark）效应？试用微扰理论解释斯塔克效应。
斯塔克（Stark）效应是指：原子在外电场作用下，它所发射的光谱谱线会发生分裂。  （2分）
解释：不考虑自旋时，氢原子n＝2的能级4度简并，电子从E2能级跃迁到E1能级只产生一条谱线。当受到外加电场作用后，4度简并的E2能级发生分裂形成3个能级，从而形成3条光谱谱线。  （3分）
4、计算对易子。
假设ψ为任意一个波函数，（2分）
  （2分）
所以       （1分）
三、计算题（1，2，3题每题15分，4题5分，共50分）
1、氢原子处于状态，试求：
（1）能量算符，角动量平方算符和角动量z分量算符的可能取值；
（2）上述三个力学量取各可能值的几率；
（3）上述三个力学量的平均值。
该波函数未归一化，首先归一化。
假设归一化波函数为
则有：A2（1＋3）＝1，所以 A＝1/2
归一化波函数为      （2分）
（1） 能量算符的可能取值：E2           （1分）
角动量平方算符的可能取值：0，    （2分，每个1分）
角动量z分量算符的可能取值：0，     （2分，每个1分）
（2） 能量算符取E2的几率：1    （1分）
角动量平方算符取0的几率：  1/4  （1分）   取的几率：3/4    （1分）
角动量z分量算符取0的几率：1/4  （1分）   取的几率： 3/4   （1分）
（3） 能量平均值：   E2      （1分）
角动量平方平均值：        （1分）
角动量z分量平均值：      （1分）
2、粒子在势能为的势阱中运动，粒子的能量E V0，写出以上三个区域的定态薛定谔方程和波函数的通解。
  对于图中的三个区域，各个区域的定态薛定谔方程分别为：
  ①区间：      （2分）
②区间：        （2分）
③区间：        （2分） 
分别求解各个区间的定态薛定谔方程，可以得到：
      （每个2分）
 其中，   
根据波函数有限的条件可以得到各个区间波函数的通解：
（每个1分）
3、运动的粒子处于所描述的状态，其中λ 0。求：
（1）归一化常数A；
（2）在何处发现粒子的几率最大； 
（3）动量的平均值。
      （）
（1）归一化：     （3分）          （2分）
（2）粒子在空间出现的几率密度为：  （2分）
   解得         （2分）
根据物理意义，粒子出现几率最大位置：    （1分）
（3）动量的平均值：     
     （中间过程，2分）
        （答案1分）
4、粒子处于状态：，求粒子的平均动量和平均动能。
其中，和是动量的本征函数
归一化：    所以           （3分）
动量平均值：       （1分）
动能平均值：   （1分）
学院                  姓名                  学号                   任课老师                选课号          
………密………封………线………以………内………答………题………无………效……
第 3 页 共 4页
（2分）
①    ②       ③
V0
0        a
E2
E1
（答对1或2个给1分，3个全对给2分）


中国电子科技大学量子力学典型考题.doc