2010年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）
数学适应性考试（理工农医类）
数学试题卷（理工类）共4页。满分150分。考试时间120分钟。
注意事项：
    1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。
参考公式：
如果事件互斥，那么
如果事件相互独立，那么
如果事件在一次试验中发生的概率是，那么次独立重复试验中恰好发生次的概率；
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个备选项中，
只有一项是符合题目要求的。
1．是第四象限角，，则（ C  ）
A．		B．		C．		D．
2．若复数的实部与虚部分别为，，则等于（  A ）
A．	B．	C．	D．
3．命题“若，则”的逆否命题是（   ）
A若≥，则≥或≤		B若，则
C若或，则	D若≥或≤，则≥
与圆关于直线对称，则直线的方程是（D ）
A．  	B．      C．      D．
5．2010年“上海世博会”于5月1日开幕。现从张100元，张200元，张300元世博会门票中任取张，则所取张中至少有张价格相同的概率为（ C ）
A．				B．				C．				D．
6．函数的反函数为（  B  ）
A．  B．   C．	 D．
7．从抛物线上一点引抛物线准线的垂线，垂足为，且．设抛物线的焦点为．则的面积为（   ）
A     	B．      	C     	D．
8．将个相同的白球和个相同的黑球全部放入个不同的盒子中，每个盒子既要有白球，又要有
黑球，且每个盒子中球数不能少于个，则所有不同的放法的种数为（ D ）
A．12				B．13				C．16				D．18
9．平面外有两条直线和，如果和在平面内的射影分别是直线和直线，给出下列四个命题：   ①⊥⊥；   ②⊥⊥；③与相交与相交或重合；    ④与平行与平行或重合；
其中不正确的命题个数是D ）
A.              B.               C.              D. 
10．已知，若对任意两个不等的正实数都有恒成立，则的取值范围是（ B ）
A．	B．	C．      D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上．
11．已知向量，，且则的值是． 12．已知则．
在R上连续，则．
14．设为双曲线的左焦点，在轴上点的右侧有一点，以为直径的圆与双
曲线左、右两支在轴上方的交点分别为、，则的值为；
15．如图，已知各顶点都在半球面上的正三棱锥，其侧面积为,
则这个球的表面积是.
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）
已知中角A、B、C的对边分别为
（）求的值；（）求的值。解：在
		（2分）
			（4分）
根据正弦定理：
于是		（6分）在中，根据余弦定理，得
于是
从而
		（1分）
所以	（1分）
个大小形状相同的小球，球上分别标有号码，，，，从盒中有放回地抽取两个小球(每次抽取一个小球).
（Ⅰ）求这两个小球号码不相同的概率；
（Ⅱ）记为这两个小球上号码的乘积，求随机变量的分布列及其数学期望；
【解】：（Ⅰ）两小球都为0或都为2的概率均为：，都为1的概率为：
∴ 所求概率	6分
（Ⅱ）    
            	10分
∴的分布列为
	0	1	2	4		P						………………13分 
18．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分）
若函数在点处的切线方程为
（Ⅰ）求的值及的单调递减区间；
（Ⅱ）若对于任意的，恒有成立，求实数的取值范围（其中为自然对数的底数）．
【解】：（Ⅰ）因为，由题意得，得
 则，由题意
故，……………………………………（3分）
令，则
，或
即的单调递增区间为………………………（6分）
（Ⅱ）因为，又由（Ⅰ）知函数在区间上为增函数，在上为减函数，  
所以；
又，由题意，解之得
故…………（12分）
19．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分）
直四棱柱中，底面为菱形，且为
延长线上的一点，面．
（Ⅰ）求二面角的大小；（Ⅱ）在上是否存在一点，使面．
若存在，求的值；不存在，说明理由．
【解】：（Ⅰ）连接交于点，连接
、；∵，∴≌，
，同理可证
，∴就是二面角
的平面角。设，，
∵平面；∴，∴在
中；
又连接，在中，，∴，联立方程组解得
，∴中，记，∴．
（Ⅱ）存在这样的点，当时，∥平面．证明如下：
连接，相交于点，过点作∥交于，连接．
由于∥，∥，∴平面∥平面；∴∥平面。
设，则，∴，所以．
20．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）
已知椭圆的离心率，点为椭圆的右焦点，点、分别为椭圆长轴的左、右顶点，点为椭圆的上顶点，且满足．（）求椭圆的方程；
（）是否存在直线，当直线交椭圆于，两点时，使点恰为的垂心。若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由
解：（）椭圆方程为
由题意
又∵即，，
∴，；故椭圆方程为……………分（）假设存在直线交椭圆于两点，且恰为的垂心，则
设，∵，故……………6分
于是设直线为，由得…………8分
∵ 又
得即
由韦达定理得
解得（舍），经检验符合条件则直线的方程为………12分
21．满足递推关系，，又
（Ⅰ）在时，求数列的通项公式；
（Ⅱ）问在什么范围内取值时，能使数列满足不等式恒成立？
（Ⅲ）在时，证明：
解：（Ⅰ）当时，，所以，又
∴
（Ⅱ）由于，所以，所以，又
，所以恒成立；∴．
（Ⅲ）当时，满足；
当时，∴；
所以，即，
由叠加可知；
∴．


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