第十六届全国中学生物理竞赛
复 赛 试 卷
题号	一	二	三	四	五	六	总分		得分									
全卷共六题，满分为140分。
一、（20分）一汽缸的初始体积为，其中盛有2摩尔的空气和少量的水（水的体积可忽略）。平衡时气体的总压强是3.0大气压，经作等温膨胀使其体积加倍，在膨胀结束时，其中的水刚好全部消失，此时的总压强为2.0大气压。若让其继续等温膨胀，使体积再次加倍。试计算此时：
1、汽缸中气体的温度；
2、汽缸中水蒸汽的摩尔数；
3、汽缸中气体的总压强。
假定空气和水蒸气均可当作理想气体处理。
二、（25分）两个焦距分别是和的薄透镜和相距为d，被共轴地安装在光具座上。
1、若要求入射光线和与之对应的出射光线相互平行，问该入射光线应满足什么条件？
2、根据所得结果，分别画出各种可能情况下的光路示意图。
三、（25分）用直径1 mm的超导体材料制成的导线做成一个半径为5 cm的圆环。圆环处于超导状态，环内电流为100A。经过一年，经检测发现，环内电流的变化量小于A。试估算该超导体材料电阻率数量级的上限。
提示：半径为r的圆环中通以电流I后，圆环中心的磁感强度为B = ，式中B、I、r各量均用国际单位，= 4π×N·。
四、（20分）经过天文望远镜长期观测，人们在宇宙中已经发现了许多双星系统，通过对它们的研究，使我们对宇宙中物质的存在形式和分布情况有了较深刻的认识。双星系统由两个星体构成，其中每个星体的线度都远小于两星体之间的距离。一般双星系统距离其他星体很远，可以当作孤立系统处理。
现根据对某一双星系统的光度学测量确定，该双星系统中每个星体的质量都是M，两者相距L，它们正围绕两者连线的中点做圆周运动。
1、试计算该双星系统的运动周期。
2、若实验上观测到的运动周期为，且∶= 1∶，（N ＞1）。为了解释和的不同，目前由一中流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质，作为一种简化模型，我们假定在这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着这种暗物质，而不考虑其他暗物质的影响。试根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度。
五、（25分）六个相同的电阻（阻值均为R）连成一个电阻环，六个接点依次为1、2、3、4、5和6，如图复16 –5 - 1所示。现有五个这样的相同的电阻环，分别称为、、…、。
现将的1、3、5三点分别与的2、4、6三点用导线连接，如图复16 –5 - 2所示。然后将的1、3、5三点分别与的2、4、6三点用导线连接，……依此类推，最后将的1、3、5三点分别连接到的2、4、6三点上。
证明全部接好后，在上的1、3两点间的等效电阻为。
求全部接好后，在上的1、3两点间的等效电阻。
六、（25分）如图复16 – 6所示，z轴竖直向上，xy平面是一绝缘的、固定的刚性平面。在A（，0，0）处放一带电量为 –q（q ＞0）的小物块，该物块与一细线相连，细线的另一端B穿过位于坐标原点O的光滑小孔，可以通过它牵引小物块。现对该系统加一匀强电场，场强方向垂直于x轴，与z轴的夹角为θ。设小物块和绝缘平面间的摩擦系数μ= tanθ，且静摩擦系数和滑动摩擦系数相同。不计重力作用。现通过细线来牵引小物块，使之移动。在牵引过程中，我们约定：细线的B端只准沿z轴向下缓慢移动，不得沿z轴向上移动；小物块的移动非常缓慢，在任何时刻，都可以近似认为小物块处在力平衡状态。若已知小物块的移动轨迹是一条二次曲线，试求出此轨迹方程。
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第十六届全国物理竞赛复赛试题解答
一、1．只要有液态水存在，平衡时汽缸中气体的总压强就等于空气压强与饱和水蒸汽的压强之和。       
  = +  = 3.0大气压                      （1）
第一次膨胀后             
 = 2.0大气压                         （2）
由于第一膨胀是等温过程，所以
 =  = 2                   （3）
解（1）、（2）、（3）得   = 1.0大气压                              （4）
                      = 2.0大气压                           （5）
                      = 1.0大气压                           （6） 
由于=1.0大气压，可知汽缸中气体的温度
                              （7）
根据题意，经两次膨胀，气体温度未改变。
2．设水蒸汽为摩尔。经第一次膨胀，水全部变成水蒸气，水蒸气的压强仍为，这时对于水蒸气和空气分别有
 = R                           （8）
 = R  = 2 R                   （9）
同此二式及（5）、（6）式可得
= 2摩尔                              （10）
3．在第二次膨胀过程中，混合气体可按理想气体处理，有
 =                            （11）
由题意知，再将（2）式代入，得 
                       大气压                            （12）
评分标准   本题20分。第1问、正确求得（7）式占9分；第2问、正确求得（10）式占7分；第3问、正确求得（12）式占有4分。
二、1．在图复解16 – 2 - 1所示的光路图中，入射光AB经透镜折射后沿BC射向，经折射后沿CD出射。AB、BC、CD与透镜主轴的交点分别为P、和，如果P为物点，因由P沿主轴射的光线方向不变，由透镜性质可知，为P经过所成的像，为经所成的像，因而图中所示的、、、之间有下列关系：
当入射光线PB与出射光线平行时，图中的，利用相似三角形关系可求得
从而求得                                  （4）
联立方程式（1）、（2）、（3）、（4），消去、、，可得
           （5）
具体运算过程如下；
由（1）式可得                                （a）
由（2）式可得                                （b）
由（4）式可得                                   （d）
由（a）、（b）、（d）式可得   
以上式代入（3）式可得              （c）
以（c）式代入（1）式得    （5）
由于d 、、均已给定，所以为一确定值，这表明：如果入射光线与出射光线平行，则此入射光线必须通过主轴上一确定的点，它在的左方与相距处。又由于与α无关，凡是通过该点射向的入射光线都和对应的出射光线相互平行。
2．由所得结果（5）式可以看出，当d ＞时，＞0，此情况下的光路图就是图复解16 – 2 – 1 所示。
当d = 时，→∞，α= 0，此时入射光线和出射光线均平行于主轴，光路如图复解16 – 2 – 2所示。
当d ＜时，＜0，这表明P点在右方，对来说，它是虚物。由（1）式可知，此时＞ 0，由可知＞0，又由＜0可知＜0，所以此时的光路图如图复解16 – 2 – 3 。
评分标准   本题25分。第1问17分，其中（1）、（2）、（3）式各2分，（4）式分，（5）式3分，结论4分；第2问8分，其中图复解16 – 2 - 1，16 –2 - 3各给3分，图复解16 – 2 - 2给2分。
三、根据题中所给的条件，当圆环内通过电流I时，圆环中心的磁感强度  
                               B = 
穿过圆环的磁量可近似为      φ ≈ B C =                     （1）
根据法拉第电磁感应定律，电流变化产生的感生电动势的大小
                                                 （2）
圆环的电阻                 R =                         （3）
根据题设条件r = 0.05 m, , I = 100 A, ≤安培/ 年 ≈ 3×安培/秒，代入（3）式得
R ≤ 3×                         （4）
由电阻与电阻率、导线截面积S、长度l的关系R =  及已知导线的直径d = 1mm ,环半径r = 5mm ，得电阻率
ρ = 。
评分标准  本题25分。求得（1）、（2）、（3）、（4）、（5）式各得5分；其中（5）式只要数量级对即可。
四、1、双星均绕它们的连线的中点作圆周运动，设运动速度率为v，向心加速度满足下面的方程：                                          （1） 
                               （2）                                 
周期                                          （3）
2．根据观测结果，星体的运动周期
                          ＜                      （4）
这说明双星系统中受

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