第三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛部分复赛部分决赛第一试决赛第二试团体决赛口试　初赛试题与解答　（1）光的速度是每秒30万千米，太阳离地球1亿5千万千米。问：光从太阳到地球要用几分钟（得数保留一位小数）？　[分析]知道距离和速度，求通过全程的时间，这是很容易做的一道题。但是因为给出的数字很大，同学们在大数算术运算时一定要注意计量单位，不然便会出错。　[解法1] 将距离单位换为“万千米”，时间单位用“分”。　光速=30万千米／秒=1800万千米／分，　距离=1亿5千万千米=15000万千米，　时间=距离÷速度=15000÷1800
　

　[解法2]如果时间单位用“秒”，最后必须按题目要求换算为“分”．　光速=30万千米／秒，　距离=15000万千米，　时间=15000÷30=500（秒），　

　答：光从太阳到地球约需8.3分钟。　（2）计算　

　[分析]这是一道很简单的分数四则运算题，但要在30秒钟内算出正确答案，需要平时养成简捷的思维习惯。同学们可以比较一下后面的两种解法。　[解法1] 先求出30，35，63的最小公倍数。30=2×3×5；35=5×7；63=3×3×7；所以公倍数是2×3×3×5×7=630。原式通分，有　

　〔解法2〕　

　[注] 两种解法同样都用到通分和约分的技巧，只有一点小区别：解法2在通分时不急于把公分母算出来，而是边算边约分。这一点小小的不同，却节省了求连乘积的运算，约分也简单些，使计算快了不少哩！　（3）有3个箱子，如果两箱两箱地称它们的重量，分别是83公斤、85公斤和86公斤。问：其中最轻的箱子重多少公斤？　[分析]如果将3个箱子按重量区分为大、中、小，在草稿纸上可以这样写：　83=中+小，　85=大+小，　86=大+中．　这样分析后，便很容易想到简单的解法。　[解法1]（83＋85＋86）是3箱重量之和的2倍，所以小箱重量是

　[解法2] （83＋85）=中+大+2×小，所以小箱重量=（83+85-86）×

　答：最轻的箱子重41公斤。　[注] 我们当然可以用列方程的方法求解这道题，例如设3箱的重量分别是x，y，z，再列出方程。思维过程同上面的分析是一样的，不过速度可能会慢些。　

　[分析] 这一道题，主要是检查同学们将循环小数化成分数的熟练程度。　[解法] 
　
 
　（5）将高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的三个圆柱组成一个物体。求这个物体的表面积。

　[分析] 我们知道，底面半径r、高h的圆柱体表面积是S=2πr2＋2πrh．本题的物体由三个圆柱组成，如果分别求出三个圆柱的表面积，还得注意减去重叠部分的面积，算起来便麻烦多了。但是仔细观察后会发现，向上的三块表面积之和恰好是大圆柱的一个底面面积，这样便想到了简单的解法。　[解法] 物体的表面积恰好等于一个大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积。　2×π×1.52＋2×π×1.5×1＋2×π×1×1+2×π×0.5×1
　=4.5π+3π＋2π＋π　=10.5π（平方米）　取π值为3，上式等于41.5（平方米）。　答：这个物体的表面积是41.5平方米。　[注] 因为三个圆柱的高都是1米，所以求三个圆柱侧面积之和时，还可以再简便些：　2π×（1.5＋1+0.5）＝6π。　中学生学过提取公因子知识，更应该想到这样简化的算法。这小小的简化可以使计算时间缩短几秒钟，这在初赛时可是很有用的哩！　（6）一位少年短跑选手，顺风跑90米用了10秒钟。在同样的风速下，逆风跑70米，也用了10秒钟。问：在无风的时候，他跑100米要用多少秒？　[分析] 顺风跑时的速度等于无风时速度与风速之和，逆风跑时的速度等于它们的差。这样便可以根据题目给出的条件计算无风时的速度，然后再求出解答。　[解法1]
　顺风时速度=90÷10=9（米／秒），　逆风时速度=70÷10=7（米／秒），　

　无风时跑100米需要100÷8=12.5（秒）．　答：无风时跑100米需要12.5秒。　[解法2] 当然也可以列方程求解。　

　顺风跑的速度减去风速v，或是逆风跑时的速度加上风速v。列出方程　

　解方程，得x=12.5（秒），v=8（米／秒）．　[注] 比较两种解法，解法1直接快当，解法2表达清楚，但花时间多些。所以在初赛时，列方程求解往往要慢些。　（7）一个矩形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占矩形面积的15％，黄色三角形的面积是21平方厘米。问：矩形的面积是多少平方厘米？

　[分析]考察黄、绿两个三角形，它们的底边都等于矩形的一边，它们的高相加恰好等于矩形的另一边，所以它们的面积之和等于矩形面积的一半。　[解法1] 黄色三角形与绿色三角形面积之和是矩形面积的50％，而绿色三角形面积占矩形面积的15％，所以黄色三角形面积占矩形面积的50％-15％=35％。已知黄色三角形面积是21平方厘米，所以矩形面积等于21÷35％=60（平方厘米）　[解法2] 用记号S黄、S绿和S分别表示黄色三角形、绿色三角形和矩形的面积，根据上面的分析知道　S黄＋S绿=S／2，　或S黄=S／2-S绿．　题目给出　
　　
 
　

　答：矩形面积是60平方厘米。　（8）有一对紧贴的传动胶轮，每个轮子上都画有一条通过轴心的标志线。主动轮的半径是105厘米，从动轮的半径是90厘米。开始转动时，两个轮子上的标志线在一条直线上。问：主动轮至少转了几转后，两轮的标志线又在一条直线上？

　[分析] 我们将两轮紧贴的点叫做接触点。通过观察不难看出，当两轮各有一个标志线端点在接触点相遇时，两轮的标志线便会在同一直线上。所以这道题是问：在开始转动后，第一次出现有两个标志线端点同时到达接触点时，主动轮转了多少转？　[解法1] 两个传动胶轮的转数与它们的半径成反比，所以

　为了叙述方便，用n1和n2分别代表主动轮和从动轮标志线端点通过接触

　点，所以

　当主动轮标志线第6次通过接触点时，从动轮标志线端点恰好通过接触点7次，这时主动轮转了3转。　[解法2] 主动轮标志线两端点间的圆弧长恰是半个圆周，即πR，从动轮标志线两端点间的圆弧长是πr，它们的比是　πR∶πr＝R∶r＝105∶90，　求两个标志线端点同时到达接触点的问题，可以化成求105和90的公倍数问题。它们的公倍数是630，630÷105=6。所以主动轮转了6个半圈，即转了3转。　答：主动轮转了3转。　（9）小明参加了四次语文测验，平均成绩是68分。他想在下一次语文测验后，将五次的平均成绩提高到70分以上，那么，在下次测验中，他至少要得多少分？　[分析] 对于这道题，只需知道总分=平均分×次数，便很容易做出来。　[解法1] 要想五次测验平均成绩至少70分，那么五次总分至少是70×5=350分。前四次总分是68×4=272分，所以第五次测验至少要得350-272＝78分。　[解法2] 要从平均68分提高到至少70分，前四次测验总分少了（70-68）×4=8分。所以第五次至少要得70+8=78分。　答：第五次测验至少要得78分。　[注] 比较两种解法，解法2当然要简便些。在初赛和决赛口试时，时间很宝贵。即使是简单的题目，也要用尽量快捷的方法，以便赢得哪怕是几秒钟的时间。　北京市一位小同学来信对这道题的叙述提出意见：“将五次的平均成绩提高到70分以上”究竟是否包含70分？这意见提得很好。为了表达更明确，这句话应改为“将五次的平均成绩提高到最少70分。”谨向那位小同学致谢。　（10）图中共有7层小三角形，求白色小三角形的个数与黑色小三角形的个数之比。

　[分析]一看到题目，当然会先试试计算黑、白两种小三角形的个数，这是很容易做到的。　[解法] 
　

　
　　
 
　

　[思考] 用同样的图形，可以问不少有趣的计数问题。例如：设小三角形面积为1，那么在图中面积为4（或9，或16）的三角形有多少个？你能想出简便的算法吗？　（11）下面的算式里，每个方框代表一个数字。问：这6个方框中的数字的总和是多少？

　[分析] 像这样类型的题目，一般都要先抓住式中的某些特点，确定其中的一、两个数字，再逐步推断其余的数，最后给出解答。　[解法1] 每个方框中的数字只能是0～9，因此任两个方框中数字之和最多是18。现在先看看被加数与加数中处于“百位”的两个数字之和。这个和不可能小于18，因为不管它们后面的两个二位数是什么，相加后必小于200，也就是说最多只能进1。这样便可以断定，处于“百位”的两个数字之和是18，而且后面二位数相加进1。　同样理由，处于“十位”的两个数字之和是18，而且两个“个位”数字相加后进1。因此，处于“个位”的两个数字之和必是11。　6个方框中数字之和为18＋18＋11= 47。　[解法2] 被加数不会大于999，所以加数不会小于1991-999=992。同样，被加数不会小于992。也就是说，加数和被加数都是不小于992，不大于999的数。这样便确定了加数和被加数的“百位”数字和“个位”数字都是9，而两个个位数字之和必是11。　9×4+11=47。　答：总和为47。　（12）在所有的两位数中，十位数字比个位数字大的两位数有多少个？　[分析] 适合要求的两位数中，个位数字小于十位数字。试将它们列出来：　十位数字个位数字　1 0
　2 0，1
　3 0，1，2
　………　9 0，1，2，…，8
　一找出规律，便很容易求出答案了。　[解法] 适合要求的两位数共有　

　答：这样的两位数共有45个。　（13）有甲、乙两个同样的杯子，甲杯中有半杯清水，乙杯中盛满了含50％酒精的溶液。先将乙杯中酒精溶液的一半倒入甲杯，搅匀后，再将甲杯中酒精溶液的一半倒入乙杯。问这时乙杯中的酒精是溶液的几分之几？　[分析] 对这类关于浓度计算的问题，只要能搞清楚溶质（这里是酒精）含量和溶液总量的变化，便很容易解决。　[解法] 列出每一次变化时二杯中溶液总量和酒精含量的数值：　

　　
 
　　

　（14）射箭运动的箭靶是由10个同心圆组成，两个相邻的同心圆半径之差等于最里面的小圆半径。最里面的小圆叫做10环，最外面的圆环叫做1环。问：10环的面积是1环面积的几分之几？

　[分析] 10环部分是一个圆，1环部分是一个圆环，面积都很容易计算。虽然题目没有给出各圆的半径，但因为只问面积比，所以知道各圆半径的关系便足够了。　[解法] 设10环小圆半径r=1 ，那么1环的外圆半径是10，内圆半径是9。　10环面积=πr2=π　1环面积=π×102-π×92=19π，　
 

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