International Mathematics Tournament of Towns 环球城市数学竞赛2002秋季赛 国中组 初级卷 20 Oct. 2002 每题必须详细写下证明及理由，只写答案不一定有分数。在2002个边的凸多边形内画上一些对角线，这些对角线在多边形内部两两互不相交，且将这个多边形分割为2000个三角形。请问在这2000个三角形中，是否可能恰有1000个三角形，其三个边都是取自于所画的对角线？（注：连接多边形内任意二点之线段，若仍全部落在多边形之内部，则称此多边形为凸多边形。）（四分）三个聪明的国中生聚在一起玩一个推理的游戏。小强与小花各选了一个自然数并分别将它告诉小安。小安告诉小强和小花，他将分别把这二个数的和与乘积写在不同的纸上。小安写好后，将其中一张纸藏起来，把另一张纸亮出来给小强和小花看（这张纸上写着2002）。小安请小强和小花互猜对方所选的数，小强首先宣称他无法确定小花所选的数，小花听完小强的话后，也说她无法确定小强所选的数。请问小花所选的数为何？（五分）(a) 在一次考试中，已知至少有三分之二的题目属于难题。在这些难题中，每一道题至少有三分之二的学生不会作。请问下列情况是否可能发生：至少答对三分之二题数的学生人数不少于全部考生人数的三分之二。（一分）(b) 承(a)，若将其中所有的“三分之二”换成“四分之三”呢？（二分）(c) 承(a)，若将其中所有的“三分之二”换成“十分之七”呢？（二分）将2002张卡片分别标记1, 2, 3, …, 2002的数，数字面朝上放在桌上。二位玩家轮流自桌上各取一张牌，直到桌上的牌取光为止。先计算每个人所有取的牌的数之总和，再比较这两个总和的个位数，较大者为胜方。请问两位玩家中哪一位有必胜之策略（无论对手如何对应）？如果有，这个必胜策略是什么？（五分）任意给一个角及其内部一点A。请问能否画出三条经过A点的直线，使得其中一条线与这个角的两边相交的二点，分别是另外二条直线与这个角的同一边上交点的中点？（五分）《成绩是取最高得分三题的总和，考试时间四小时。》 International Mathematics Tournament of Towns 环球城市数学竞赛2002秋季赛 高中组 初级卷 20 Oct. 2002 每题必须详细写下证明及理由，只写答案不一定有分数。三个聪明的国中生聚在一起玩一个推理的游戏。小强与小花各选了一个自然数并分别将它告诉小安。小安告诉小强和小花，他将分别把这二个数的和与乘积写在不同的纸上。小安写好后，将其中一张纸藏起来，把另一张纸亮出来给小强和小花看（这张纸上写着2002）。小安请小强和小花互猜对方所选的数，小强首先宣称他无法确定小花所选的数，小花听完小强的话后，也说她无法确定小强所选的数。请问小花所选的数为何？（四分）(a) 在一次考试中，已知至少有三分之二的题目属于难题。在这些难题中，每一道题至少有三分之二的学生不会作。请问下列情况是否可能发生：至少答对三分之二题数的学生人数不少于全部考生人数的三分之二。（一分）(b) 承(a)，若将其中所有的“三分之二”换成“四分之三”呢？（二分）(c) 承(a)，若将其中所有的“三分之二”换成“十分之七”呢？（二分）平面有两两不平行的直线若干条，它们将平面分割成许多区域。从这些区域的内部任选一点A。请证明：如果存在一个点B，对于任意一条直线而言，点B都与点A不在这条直线的同一侧，则点A所在的区域是一个无界的区域（即这个区域至少有一个方向没有边界）；反之亦成立。（五分）设x, y, z为实数，且0 < x, y, z < ，请证明： （五分）在黑板上任意写出一个n位数，再依下列方法操作：将黑板上的数加上这个n位数中的任意一个非零的数字，得到一个新的数写在黑板上，再擦去黑板上旧有的数。请证明：照这样的方法继续操作下去，经过有限次后，黑板上一定会出现一个偶数。（五分）《成绩是取最高得分三题的总和，考试时间四小时。》
19678_环球城市数学竞赛20.doc
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