一九九七年山东省初中数学竞赛试题（1997年11月30日上午8:30--11:00）一、选择题（每小题6分，共48分）
1、如果
是整数，那么
满足（）。
（A）
且
是完全平方数；（B）
，且
是完全平方数；（C）
且
是完全平方数；（D）
，且
是完全平方数。2、如果
是方程组
的解，则
与
的关系是（）。（A）
；（B）
；（C）
；（D）
。3、已知周长小于15的三角形三边的长都是质数，且其中一边的长为3，这样的三角形有（）。（A）4个；（B）5个；（C）6个；（D）7个。4、已知△ABC中，∠B＝60°，∠C＝75°，△ABC的面积为
，若BC＝
，则
等于（）。（A）1；（B）
；（C）2；（D）
。5、已知
，则
的值是（）。（A）
；（B）
；（C）
；（D）
。6、如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的平分线交BD于点E，交CD于点F，交BC的延长线于点G，则下列结论中正确的是（）。

（A）
；（B）
；（C）
；（D）
。7、甲、乙、丙三个学生分别在A、B、C三所大学学习数学、物理、化学中的一个专业，若已知：①甲不在A校学习；②乙不在B校学习；③在B校学习的学数学；④在A校学习的不学化学；⑤乙不学物理，则（）。
（A）甲在B校学习，丙在A校学习；（B）甲在B校学习，丙在C校学习；
（C）甲在C校学习，丙在B校学习；（D）甲在C校学习，丙在A校学习。8、在锐角三角形ABC中，2∠B＝∠C，则AB与2AC的大小关系为（）。
（A）AB＝2AC；（B）AB＜2AC；（C）AB＞2AC；（D）不能确定。
二、填空题（每小题8分，共32分）

1、如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝BC，AB＝10，CD＝4，延长BD到E，使DE＝BD，作EF⊥AB，交BA的延长线于点F，则AF＝________。
2、如果不论
为何值，
总是关于
的方程
的解，则
________，
________。3、某班50人，会游泳的有27人，会体操的有18人，游泳、体操都不会的有15人，那么既会游泳又会体操的有________人。
4、在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是斜边AB上的高，CE是∠C的平分线，若
，则
________。三、（20分）有50位学生，男女各半，围坐一圈，是否存在一种座位的安排方法，使得每一位学生左右两侧的两位学生均为异性学生？请说明理由。四、（20分）设
为互不相等的非零实数，求证三个方程：
，
，
不可能都有两个相等的实数根。
五、（20分）如图，△ABC中AB＝2，AC＝
，∠A＝∠BCD＝45°，求BC的长及△BDC的面积。

=======================================参考答案一、选择题：1、D；2、C；3、B；4、C；5、C；6、B；7、A；8、B。二、填空题：1、4；2、
；3、10；4、
。三、解：不存在这样的坐位安排。反证之，若存在这样的坐位安排，则每一位学生必与一同性别同学相邻而坐，我们若以Y表示男性学生，以X表女性学生，则如图所示，每一对相邻而坐的男性（女性）学生的左右两侧必为两对相邻而坐的女性（男性）学生，这样50位学生共有25对相邻而坐的同性别学生。25是一奇数，25对这样的学生中必有两对同为男性（女性）相邻，即必有4位同性别学生依次相邻而坐，从而与题意的要求矛盾。所以这样的坐位安排方法是不存在的。

四、解：反证之，若题中方程都有两个相等的实数根，则有


，但由题意上式应大于0，此矛盾证得本题。五、解：作CE⊥AB于E（参看题图），可知AE＝CE＝
，BE＝
，由BC2＝BE2+CE2，可得BC2＝
，即BC＝
。
全等三角形复习题纲2.doc