例 若增加一目标为：成本最小  则 目标 minz＝P4 d 5+  30 x1 +70x2 ＋ d 5－  － d 5＋ ＝0 若增加一目标为：甲、乙产量相等 minz＝P5 （d 6+  ＋ d 6－ ） x1 － x2 ＋ d 6－  － d 6＋ ＝0  (5) 在表3—2上计算最小比值 = Min{ 11/1 , —, 10/2 , 56/10 } = 10/2 = 5  它所对应的变量 d2- 为换出变量，转第(6)步; (6) 进行基变换运算,得表3—3，返回第(2)步，以 此类推，直至得到最终表为止，见表3—5。  表3—4所示的解 x1*= 2 , x2*= 4 为例2的满意解。我 们检查表3—4的检验数行，发现非基变量 d3+ 的检验 数为0，这表明存在多重最优解。在表3—4中以非基 变量 d3+ 为换入变量， d1- 为换出变量，经迭代得到 表3—5，这时： x1*= 10/3 , x2*= 10/3 也是例2满意解。 表3—3 1 -5 5 -3 P3 1 1 P2 1 P1 j -1 1 5 -5 [3] 6 d3-  P3 -1/2 1/2 1 1/2 5 x2 -1/2 1/2 -1 1 3/2 5 d1- 1/2 -1/2 1 3/2 6 xs  d3+  d3-  d2+  d2-  d1+ d1- xs x2 x1 b* xB CB P3  P2  P2  P1 cj 表3—4 1 P3 1 1 P2 1 P1 j -1/3 1/3 5/3 -5/3 1 2 x1 1/6 -1/6 -4/3 4/3 1 4 x2 1/2 -1/2 -3 3 -1 1 2 d1- 1/2 -1/2 -2 2 1 3 xs  d3+  d3-  d2+  d2-  d1+ d1- xs x2 x1 b* xB CB P3  P2  P2  P1 cj 表3—5 1 P3 1 1 P2 1 P1 j -1/3 1/3 -2/3 2/3 1 10/3 x1 1/3 1/3 1/3 -1/3 1 10/3 x2 1 -1 -6 6 -2 2 4 d3+ 1 -1 1 -1 1 1 xs  d3+ d3-  d2+  d2-  d1+ d1- xs x2 x1 b* xB CB P3  P2  P2  P1 cj  第四节  目标优先次序的确定 在目标规划中，要求按各目标的重要性程度赋 予相应的优先因子及加权系数。简单情况下，决策者 可按自己对各目标的重要性程度的认识给出排队顺序 ，当目标多而又不易判断时，可采用两两比较法，对 那些关系重大的目标，优先次序的排队问题可听取多 方面专家的意见，用加权平均法来确定。以下我们分 别介绍这两种方法。 1. 两两比较法 假设有 n 个目标，决策者从这些目标中取出两个 * 第四章  目标规划 目标规划是在线性规划的基础上，为适应企业经 营管理中多目标决策的需要而逐步发展起来的。目标 规划是一种数学方法。它是在企业决策者所规定的若 干指标值及要求实现这些指标值的先后顺序，并在给 定有限资源条件下，求得总的偏离指标值最小的方案。 称这种方案为满意方案。 目标规划的有关概念和数学模型是在1961年由美 国学者查恩斯( A.Charnes) 和库伯( W.W.Cooper) 首次 在《管理模型及线性规划的工业应用》一书中提出。 当时是作为解一个没有可行解的线性规划而引入的一 种方法。这种方法把规划问题表达为尽可能地接近预 期的目标。1965年，尤吉·艾吉里( Yuji · Ijiri) 在处理多 目标问题，分析各类目标的重要性时，引入了赋予各 目标一个优先因子及加权系数的概念；并进一步完善 了目标规划的数学模型。表达和求解目标规划问题的 方法是由杰斯基莱恩( Jashekilaineu) 和桑 李( Sang Li) 给出并加以改进的。 目标规划与线性规划相比有以下优点： 1.线性规划只能处理一个目标，而现实问题往往要处 理多个目标。目标规划就能统筹兼顾地处理多个目标 的关系，求得更切合实际要求的解。 2. 线性规划立足于求满足所有约束条件的最优解而在 实际问题中，可能存在相互矛盾的约束条件。目标规 划可以在相互矛盾的约束条件下找到满意解。 3. 目标规划的最优解指的是尽可能地达到或接近一个 或若干个已给定的指标值。 4. 线性规划的约束条件是不分主次地同等对待，而目 标规划可根据实际的需要给予轻重缓急的考虑。 因此，可以认为目标规划更能确切地描述和解决 经营管理中的许多实际问题。目前，目标规划已在经 济计划、生产管理、市场管理、财务分析、技术参数 的选择等方面得到广泛的应用。  第一节  目标规划的数学模型 目标规划相应的基本概念有；正负偏差变量、目 标约束条件、系统约束条件、优先因子等等。为了具 体说明这些概念、目标规划与线性规划在处理问题方 法上的区别，先通过例子来介绍目标规划的有关概念 和数学模型。 例1：某工厂生产 I、II 两种产品，有关数据见表1。试求获利最大的生产方案。  表1 10 8 利润（元/件） 10 2 1 设备（ hr） 11 1 2 原材料（ kg） 拥有量 II I  解：设 x1 、 x2 分别为生产产品 I、II 的件数，则这是 一个单目标线性规划问题，用图解法可求得最优 决策方案为： x1*= 4，x2*= 3，Z *= 62 元。 但实际上，工厂在作决策时，要考虑市场等一系 列其它因素，如： （1）根据市场信息，产品 I 的销售量有下降的趋势， 故考虑产品 I 的产量不大于产品 II 的产量； （2）超过计划供应的原材料，需用高价采购，这就 使成本增加； （3）应尽可能充分利用设备台时，但不希望加班； （4）应尽可能达到并超过计划利润指标56元。 这样在考虑产品决策时，便成为多目标决策问题。 目标规划的方法是解这类决策问题的方法之一。下面 引入与建立目标规划数学模型的有关概念。 1. 设 x1 、 x2 为决策变量， 此外，引进正、负偏差变 量 d +、 d - 。 正偏差变量 d + 表示决策值超过目标值的 部分； 负偏差变量 d - 表示决策值未达到目标值的部 分。 因决策值不可能既超过目标值同时又未达到目标 值，即恒有： d + d - = 0 (3.1)  2. 系统（绝对）约束和目标约束： 系统约束是指必须严格满足的等式或不等式； 如 线性规划问题的所有约束条件，不能满足这些约束条件的解称为非可行解，所以它们是硬约束。 目标约束 是目标规划特有的，可把约束右端项看作是要追求的 目标值。 在达到此目标值的过程中允许发生正或负偏 差，因此在这些约束中加入正、负偏差变量，它们是 软约束。 线性规划问题的目标函数，在给定目标值和 加入正、负偏差变量之后，可转变为目标约束。同时 也可根据问题的需要将系统约束转变为目标约束。 3. 优先因子（优先等级）与权系数： 一个规划问题常常有若干个目标。 但决策者在要 求达到这些目标时是有主次或轻重缓急的考虑。 凡要求第一位达到的目标，就赋予优先因子 P1 ； 次位的 目标赋予优先因子 P2 ，······， 并规定 Pk  Pk+1 ，k =1 ，2， ······，K ， 表示 Pk 比 Pk+1 有更大的优先权。 即 首先保证  P1 级目标的实现，这时可以不考虑次级目 标；而 P2 级目标是在实现 P1 级目标的前提下考虑的 ；以此类推，若要区别具有相同优先因子的两个目标 的差别，这时可分别赋予它们不同的权系数 wj ， 这 些都由决策者按具体情况而定。 4. 目标规划的目标函数:  目标规划的目标函数（又称准则函数）是按各目标 约束的正、负偏差变量和赋予相应的优先因子而构造 的。 当每一目标值确定后，决策者的要求是尽可能缩 小与目标值的偏离。 因此，目标规划的目标函数只能 是  Min f (d +、 d - )。 其基本形式有以下三种： （1）要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都要 尽可能地小，这时：  Min Z = f (d +、 d - )  (3.2) （2）要求不超过目标值，即允许达不到目标值，但 尽量不超过目标值，也就是正偏差尽量小。这时：  Min Z = f (d +) (3.2) （3）要求超过目标值，即超过量不限，必须是 负偏差变量要尽可能地小。这时：  Min Z = f (d -)  (3.2) 对每一个具体目标规划问题，可根据决策者的要 求和赋予各目标的优先因子来构造目标函数，以下用 例子说明。  10 8 利润（元/件） 10 2 1 设备（ hr） 11 1 2 原材料（ kg） 拥有量 II I 例2：例1的决策者在原材料供应受严格限制的基础上 考虑；首先是产品 II 的产量不低于产品 I 的产量；其 次是充分利用设备的有效台时，不加班；在则是利润 不小于 56元。求决策方案。  解：按决策者所要求的，分别赋予这三个目标 P1 、  P2 、 P3 优先因子。于是这个问题的数学模型就是： 目标规划数学模型的一般形式如下： （1）根据市场信息，产品 I 的销售量有下降的趋势， 故考虑产品 I 的产量不大于产品 II 的产量； （2）超过计划供应的原材料，需用高价采购，这就使成本增； （3）应尽可能充分利用设备台时，但不希望加班； （4）应尽可能达到并超过计划利润指标56元。  120 70 利 润  3000  10 3 设备台时  2000  5 4 煤  3600  4 9  钢材  资源总量  乙 甲 要求： 第一级目标：完成或超额完成利润指标5000 第二级目标：产品甲不能超过200件  产品乙不能超过250件 第三级目标：现有钢材3600 t 刚好用完 要求： 第一级目标：完成或超额完成利润指标50000， 第二级目标：产品甲不能超过200件  产品乙不能超过250件 第三级目标：现有钢材3600 t 刚好用完 基本概念： 1、目标值（给定） 50000、  200、250、 3600 设甲、乙产量为 x1、x2 实现值 70 x1＋120x2  d+ 表示实现值＞目标值 d+＝ 实现值－目标值 d－＝ 目标值－实现值 d+、 d－ 至少有一个为0 正 偏差变量  d+  负 偏差变量  d－ d+× d－＝0 120 70 利 润  3000  10 3 设备台时  2000  5 4 煤  3600  4 9  钢材  资源总量 乙 甲  120 70 利 润  3000  10 3 设备台时  2000  5 4 煤  3600  4 9  钢材  资源总量 乙 甲 第一：完成或超额完成利润指标50000 第二：产品甲不能超过200件 产品乙不能超过250件 第三：现有钢材3600 t 刚好用完 设甲、乙产量为 x1、x2 2、约束条件： （1）目标约束 70 x1＋120x2 ＋ d1－ － d1+＝50000  （ 利润）  x1＋ d2－ － d2+＝200  （ 产品甲不超过200） x2＋ d3－ － d3+＝250  （ 产品乙不超过250） 9 x1 ＋4x2 ＋ d4－ － d4+＝3600 （ 系统约束转化为目标约束） （2）系统约束（绝对约束） 4 x1 ＋5x2 ≤2000 3x1 ＋10x2 ≤3000 （3） 非负约束 xj≥0 di+ 、 di－ ≥0  3、达成函数 minz=f(di－ － di+) minz1= d1－ ( 利润完成50000，若小于， d1－↓） minz2= d2＋  （ 甲不超过200， d2＋↓ ） minz3= d3－  （ 乙不能超过250件， d3－↓） minz4= d4++ d4－ ( 钢材刚好用完) 若 d4－＝0  d4+＝10， 说明钢材用了3600＋10， 即 di+ 、 di－ 可不满足这就是目标规划的好处） 三级目标结合在一起： minz= P1d1－＋ P2（d2＋＋ d3－）＋ P3（d4＋＋ d4－） P1＞ ＞ P2 ＞ ＞ P3 Pi －优先因子； w1 －权重（同级目标） minz= P1d1－＋ P2（ w1 d2＋＋ w2 d3－）＋ P3（d4＋＋ d4－） 程序计算时， Pi 取1000、100等 第一：完成或超额完成利润指标50000 第二：产品甲不能超过200件 产品乙不能超过250件  120 70 利 润  3000  10 3 设备台时  2000  5 4 煤  3600  4 9  钢材  资源总量 乙 甲 第三：现有钢材3600 t 刚好用完  120 70 利 润  3000  10 3 设备台时  2000  5 4 煤  3600  4 9  钢材  资源总量  乙 甲 成本 30  70 建立目标规划的数学模型时，需要确定目标值、 优先等级、权系数等，它都具有一定的主观性和模糊 性，可用专家评定法等给予量化。  第二节 目标规划的图解法 对具有两个决策变量的目标规划数学模型，可用 图解法进行求解。我们对例2用图解法进行求解。  从图中可知，该目标规划问题的最优解是线段 GD  上的所有点。 这时，线段 GD 上的点能够满足目标规 划问题的所有约束条件，即能满足所有的系统约束和 目 标约束条件。但大多数目标规划问题并非如此， x1 x2 0  F E C G D J d1- d1+ d2- d2+ d3- d3+ I B A  还可能出现非可行解，所以将目标规划问题的最优解 称之为满意解。 例 3：某电视机厂装配黑白和彩色两种电视机，每装 配一台电视机需占用装配线1小时，装配线每周计划 开动40小时，预计市场每周彩色电视机的销售量是24 台，每台获利80元；黑白电视机的销售量是30台，每 台获利40元。该厂确定的目标是： 第一优先级：充分利用装配线每周计划开动40小时； 第二优先级：允许装配线加班，但每周加班时间尽量 不超过10小时； 第三优先级：装配电视机的数量尽量满足市场的需要 。又因彩色电视机的利润高，我们取其权系数为2。 试建立该问题的目标规划模型，并求解黑白和彩 色两种电视机的产量。 解：设 x1 、 x2 分别表示彩色和黑白电视机的产量。 这个问题的目标规划问题的数学模型为： 我们用图解法求解该问题如下图所示： A B C D G H F E(24,26) d1- d1+ d2- d2+ d3- d3+ d4- d4+ 0 x1 x2 第三节 解目标规划的单纯形法 目标规划的数学模型结构与线性规划的数学模型 没有本质的区别，所以可用单纯形法求解。但要考虑 目标规划数学模型的一些特点，作如下规定： （1）因目标规划问题的目标函数都是求最小化，所 以检验数  j  0，j = 1， ，n 为最优准则； （2）因非基变量检验数中含有不同等级的优先因子， 即： 从每个检验数的整体来看；检验数的正、负首先取决 于 P1 的系数 1 j 的正、负。若 1 j = 0， 这时此检验数 的正、负就取决于 P2 的系数 2 j 的正、负，以下可依 此类推。 解目标规划问题的单纯形法的计算步骤： （1）建立初始单纯形表，在表中将检验数行按优先 因子个数分别列成 K 行，令 k = 1； （2） 检验该行中是否存在负数，且对应的前 k-1 行系 数是0，若有，取其中最小者对应的变量为换入变量， 转下一步，若无负数，则转到（5）； （3）按最小比值规则确定换出变量，当存在两个和 两个以上相同的最小比值时，选取具有较高优先级的 变量为换出变量； （4）按单纯形法进行基变变换运算，建立新的计算 表，返回（2）； （5）当 k = K 时，计算结束，表中的解即为满意解， 否则令 k = k + 1 返回到（2）。 例 4：试用单纯形法来求解例 2 。 解：首先将例2的数学模型标准化；  (1)取 xs , d1-, d2-, d3- 为初始基变量，列出初始单纯 形表，见表3—2 。  (2)取 k =1 , 检查检验数的 P1 行，因该行无负检验 数，所以转下一步； (3) 因 k (= 1) < K (=3)， 令 k = k + 1 =2 返回第(2)步； (4)查出检验数的 P2 行中有 -1, -2 ，取 Min（ -1, -2 ）  = -2 ，它对应的变量为 x2 是换入变量，转第（5）步；  表3—2 1 -10 -8 P3 2 -2 -1 P2 1 P1 j -1 1 10 8 56 d3-  P3 -1 1 [2] 1 10 d2-  P2 -1 1 -1 1 0 d1- 1 1 2 11 xs  d3+  d3-  d2+  d2-  d1+ d1- xs x2 x1 b* xB CB P3  P2  P2  P1 cj *