二、线性规划问题的共同特征 ⑴ 每一个问题都用一组决策变量 (x1 ， x2 ，…， xn) 表示某一方案；这组决策变量的值就代表一个具体方案。一般这些变量取值都是非负的。 ⑵ 存在一定的约束条件，这些约束条件可以用一组线性等式或线性不等式来表示。 ⑶ 都有一个要求达到的目标，它可用决策变量的线性函数（称为目标函数）来表示。按问题的不同，要求目标函数实现最大化或最小化。 三、线性规划数学模型的一般表示方式  1. 和式 2. 向量式 3. 矩阵式 四、线性规划问题的标准形式 线性规划的标准形式： 线性代数基础知识补充与回顾 一、克莱姆规则 含有n个未知数 x1,x2,…xn 的n个线性方程的方程组如下式所示：  克莱姆法则 如果上述线性方程组的系数行列式不等于零，即有： 二、矩阵的秩 定义 1 在  定义二 : 设在矩阵中有一个不等于0的r阶子式D，并且所有的 r+1 阶子式（如果存在）全等于零，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩。 例：找出下述线性规划问题的全部基解，指出其中的基可行解，并确定最优解。 1. 系统中有j种活动，它们分享有限的资源 bi ； 2. 进行一个单位的第j种活动，需要第 i 种资源的量为 aij ； 3. 一个单位的第j种活动的产出以 cj 表示； 4. 第j项活动的量用 xj 表示。 5. 机会成本 Zj ：表示增加一个单位的 xj 所引起的目标函数的下降值。 6. 价值系数 cj ：表示增加一个单位的 xj 所引起的目标函数的增加值。 7. 判别数  =cj-zj ：表示增加一个单位的 xj 所引起的目标函数的净增值。 四、线性规划问题的经济释义 课堂作业： 有如下线性规划： 1. 变成标准型； 2. 确定初始基可行解； 3. 确定换出变量； 4. 确定换入变量； 5. 说出主元行、主元列、和主元素。 1. 标准型如下： 2. 初始基可行解： X(0)=(0 ，0，0， 100 ， 120) ； 3. 换出变量： x2 4. 确定换入变量 :x4 5. 说出主元行 L=1; 主元列 k=2; 主元素 a12=3 。 第二章 线性规划问题及单纯形法 线性规划问题及其数学模型 图解法 单纯形法原理 单纯形法计算步骤 单纯形法的进一步讨论 数据包络分析 第四节 单纯形法计算步骤 本节重点： ● 单纯形表（特别是检验数行） ● 单纯形法的计算步骤 一、单纯形表 用单纯形法求解线性规划时，设计了一种专门表格，称为单纯形表。迭代计算中每找出一个新的基可行解时，就重画一张单纯形表。含初始基可行解的单纯形表称为初始单纯形表，含最优解的单纯形表称为最终单纯形表。 考虑系数矩阵Ａ中有单位矩阵的情况： 单纯形表 XB 列 —— 基变量； CB 列 —— 基变量的价值系数(目标函数系数)； cj 行 —— 价值系数； b 列 —— 方程组右侧常数；  列 —— 确定换入变量时的比率计算值； 底行 —— 检验数； 中间 —— 约束方程系数。 {  |  >0} = k I = 二、计算步骤 (1) 找出初始可行基，确定初始基可行解，建立初始单纯形表。 (2) 检验各非基变量 xj 的检验数，若 j 0 ， j=m+1 ，…，n；则 已得到最优解，可停止计算，否则转入下一步。 (3) 在 j > 0 ， j=m+1 ，…，n中，若有某个 k对应 xk 的系数列向量 Pk 0 ， 则此问题是无界解，停止计算。否则，转入下一步。 (4) 根据 max(  j > 0) = k，确定 xk 为换入变量，按 规则计算 =min{bi/aik∣aik>0} 可确定第L行的基变量为换出变量。转入下一步。 2 3 0 0 0 1 2 1 0 0 4 0 0 1 0 0 4 0 0 1 0 2 3 0 0 0 0 0 0 8 16 12 x3 x4 x5 4 - 3 2 3 0 0 0 2 1 0 1 0  -1/2  9 2 0 0 0  -3/4 0 0 3 x3 x4 x2 2 4 - (  )  3 0 1 0 0 1/4  16 4 0 0 1 0 X(0)=(0 ，0，8， 16 ， 12)T ， z0 =0 2 3 0 0 0  2 1 0 1 0  -1/2 13 0 0 -2 0 1/4 2 0 3 x1 x4 x2 - 4 12  3 0 1 0 0 1/4  8 0 0 -4 1 2 2 3 0 0 0  2 1 0 1 0  -1/2 9 2 0 0 0  -3/4 0 0 3 x3 x4 x2 2 4 -  3 0 1 0 0 1/4  16 4 0 0 1 0 (  ) X(1)=(0 ，3，2， 16 ， 0)T ， z1 =9 2 3 0 0 0  2 1 0 1 0  -1/2 13 0 0 -2 0 1/4 2 0 3 x1 x4 x2 - 4 12  3 0 1 0 0 1/4  8 0 0 -4 1 2 (  ) 2 3 0 0 0  4 1 0 0 1/4 0 14 0 0  -1.5 -1/8  0 2 0 3 x1 x5 x2  2 0 1 1/2  -1/8 0  4 0 0 -2 1/2 1 X(2)=(2 ，3，0，8， 0)T ， z2 =13 X(3)=(4 ，2，0， 0, 4)T ， z3 =14 第二章 线性规划问题及单纯形法 线性规划问题及其数学模型 图解法 单纯形法原理 单纯形法计算步骤 单纯形法的进一步讨论 数据包络分析 第五节 单纯形法的进一步讨论 本节重点： ● 大M法 ● 两阶段法 ● 解的存在情况判别  由于所添加的剩余变量的技术系数为 1，不能作为初始可行基变量，为此引入一个人为的变量（注意，此时约束条件已为 “=” 型），以便取得初始基变量，故称为人工变量。  由于人工变量在原问题的解中是不能存在的，应尽快被迭代出去，因此人工变量在目标函数中对应的价值系数应具有惩罚性，称为罚系数。罚系数的取值视解法而定 两种方法：大M法和二阶段法。 一、 人工变量的引入及其解法 1. 当约束条件为“ ”型，引入剩余变量和人工变量 (a) (b) (c) (d) (e) (a) (b) (c) (d) (e) 图中红粗线和红点是顶点。  3. 顶点  凸集C中满足下述条件的点X称为顶点。  如果C中不存在任何两个不同的点 X1 ， X2 ，使X成为这两个点连线上的一个点，或者：对任何 , 不存在 ，则称X是凸集C的顶点。 4. 线性规划基本定理 定理 1  若线性规划问题存在 可行解，则问题的可行域是凸集。 证 ( 方法 1) 若满足线性规划约束条件  的所有点组成的几何图形C是凸集，根据凸集定义，C内任意两点 Xl ， X2 连线上的点也必然在C内，下面给予证明。 设 为C内任意两点， 即  ，将 X1 ， X2 代入约束条件有 (2.4) X1 ， X2 连线上任意一点可以表示为：  (2.5)  将式（ 2.4 ）代入式（ 2.5 ）得：  所以 。由于集合中任意两点连线上的点均在集合内，所以C为凸集。 引理 线性规划问题的可行解 X=(x1 ， x2 ， ··· ， xn ）T为基可行解的充分必要条件是 X 的正分量所对应的系数列向量是线性无关的。 证明： (1) 必要性 由基可行解的定义可知，X为基可行解  其正分量的系数列向量线性无关。  (2) 充分性 若向量 线性独立，则必有 k≤m ；当k＝m时，它们恰好构成一个基， 从而  为相应的基可行解。当是 k0 (m+1 ￡ j ￡ n)  ，则有 x j >0, 其他非基变量仍为零的可行解 ，其目标函数值为 这说明 当前解不是最优解。若所有  ￡ 0 (m+1 ￡ j ￡ n) ，则 z 0 为可行解所 能取得的目标函数最大值，说明当前解是最优解。故称 为检验数。将基变量的检验数0也视为其检验数，可得： , z x z z j j 0 0 > + = s j s j s  注意： xj 的检验数 是当 z 表示为非基变量的函数时 目标函数中 xj 的系数。基变量的检验数为零。 最优性判别定理：  若基可行解对应的检验数 0 ( j=1 ，2， …,n) 则此解是最优解，否则不是最优解。 例 10  中 z = 2x1+3x2 ， x1 ， x2 为非基变量， 1=2>0 ，  2=3>0 ， X(0) 不是最优解。 3. 基变换  求一个改进的、“相邻”的可行基，一个基变量 将变成非基变量（换出），一个非基变量将变成 基变 量（换入）。 (1) 换入变量的确定 一般，当 j max { j s | j s >0}= s k ，取 x k 为换入变量。 例 10  中， s 2 > s 1 ，可取 x 2 为换入变量。 第k列为主元列。 第2列为主元列。  (2) 换出变量的确定 在 中，令 xk>0 ， 而 xj =0(m+1 j n ， j k) ，要保持 xi 0 ( i=1 ，2， …,m) ， 即 若所有 则 xk 可取无穷大，问题无最优解。 必须 Xk≤ 于是，当  为换出变量。 L行为主元行， alk 为主元素  x2 最多取值 = min{8/2,-,12/4} = 3 = x2 =3 ， x5 =0 ，故第3个约束中的 x5  是换出变量 .	 新的基 B(1) = (P3 ， P4 , P2 ) ， 新的解 X(1)=(0 ，3，2， 16 ， 0)T (1) 最优性判别定理 若基可行解对应的检验数 0 ( j=1 ，2， …,n) ，则此解是最优解，否则不是最优解。 4. 结论 (4) 当所有的 ≤0 ，又对某个非基变量  ， 有  这表明可以找到另一顶点(基可行解)目标函数值也达到最大。由于该两点连线上的点也属可行域内的点，且目标函数值相等，即该线性规划问题有无穷多最优解。反之，当所有非基变量 的 O ，又 Pj≤0 ，表明线性规划有无界解。 模型的约束条件之间存在矛盾，建模时有错误。  4. 无可行解（可行域为空集） 例如： max Z=x1+2x2 -x1-x2≥2  2x1+x2≤4 x1 ， x2 ≥0 0 x1 x2  三、由图解法得到的启示 图解法虽只能用来求解只具有两个变量的线性规划问题，但它的解题思路和几何上直观得到的一些概念判断，对下面要讲的单纯形法有很大启示：  1 ．求解线性规划问题时，解的情况有：唯一最优解；无穷多最优解；无界解；无可行解。（见下页图示所示）  2 ．若线性规划问题的可行域存在，则可行域是一个凸集。  3 ．若线性规划问题的最优解存在，则最优解或最优解之一(如果有无穷多的话)一定是可行域的凸集的某个顶点。  4 ．解题思路是，先找出凸集的任一顶点，计算在顶点处的目标函数值。比较周围相邻点的目标函数值是否比这个值大，如果为否，则该顶点就是最优解的点或最优解的点之一，否则转到比这个点的目标函数值更大的另一顶点，重复上述过程，一直到找出使目标函数值达到最大的顶点为止。 (d) 可行域无界 	 (e) 可行域无界 	 (f) 可行域为空集 	  多个最优解 		  目标函数无界 	 无可行解 	 (a) 可行域有界 	  	(b) 可行域有界 	  	  (c) 可行域无界 	  唯一最优解 			  多个最优解 		 唯一最优解  （一）线性规划问题标准形式  为了使线性规划问题的解法标准，就要把一般形式化为标准形式。其一般形式如下所示： （二）线性规划问题的解法标准 1、目标函数为求极大值； 2 、 xj≥0 j=1,2,…n; 3 、 bi≥0 i=1,2,…m; 4 、除非负约束外（ xj≥0 ），其余 约束都为等式。 线性规划问题标准形式的要求如下： （三）标准形式的变换方法 目标函数为 min 型，价值系数一律反号。  令 Z '= -Z = -CX  ，有 min Z = - max [- Z] = - max Z ' 第 i 个约束的 bi 为负值，则该行左右两端系数同时反号，同时不等号也要反向 第 i 个约束为  型，在不等式左边增加一个非负的变量 xn+i ，称为松弛变量；同时令 cn+i = 0 ，不等式变为等式。 第 i 个约束为  型，在不等式左边减去一个非负的变量 xn+i ，称为剩余变量；同时令 cn+i = 0 ，不等式变为等式。 若 xj  0，令 xj= -xj  ，代入非标准型，则有 xj  0 若 xj  不限，令 xj= xj - xj ， xj  0 ， xj  0 ，代入非标准型 （四）变换举例 例 1. 将下述线性规划问题化为标准型： 令 其中 并按上述规则，该问题的标准形式为： 例 2. 将下述线性规划问题化为标准型 自己做一下练习 注意一下这几处 经过变换化为标准型如下： x1 + x2 + x3  7  x1 – x2 + x3  2 –3 x1+ x2 +2 x3 = 5 x1 ， x2  0， x3 为无符号约束 例3．将下述线性规划问题化为标准型 	 min z = –x1 +2x2 –3x3 解：用 x4 - x5 替换 x3 ，令 z’ = -z x1 + x2 + (x4 - x5) +  x6 = 7 x1 – x2 + (x4 - x5) - x7 = 2 –3x1 + x2 +2(x4 - x5) = 5  x1 ， x2 ， x4 ， x5 ， x6 ， x7 0 max z’= x1 –2x2 + 3(x4 - x5)+0 x6+0 x7 用标准型求最优解后，再回到原变量。 那么，上述方程组有唯一解： 其中 Dj （ j=1 ，2， ……n ）是把系数行列式D中的第j列的元素用方程组的常数项代替后得到的n阶行列式 .  定理一 :  如果线性方程组得系数行列式D不等于零，则上述方程组一定有解，且解是唯一的。 定理二 : 如果上述方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零。 矩阵A中，任取k行与k列 (K<=m,k<=n) ，位于这些行列交叉处的k的平方个元素，不改变他们在A中所处的位置次序而得到的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式。  有了上述基本知识以后我们来看一下几个非常重要的概念 五、关于标准型解的若干基本概念 线性规划问题 ： 可行解：满足上述约束条件 (2.2) ， (2.3) 的解  ， 称为线性规划问题的可行解。全部可行解的集合称为可行域。 非可行解:满足约束条件（ 2.2 ）但不满足非负条件（ 2.3 ）的解 X  称为非可行解 最优解：使目标函数 (2.1) 达到最大值的可行解称为最优解。  基：设 A 为约束方程组 (2.2) 的 m×n 阶系数矩阵，(设n＞ m) ， 其秩为m，B是矩阵A中的一个 m×m 阶的满秩子系数矩阵，称B是线性 规划问题的一个基。 不失一般性，设： B 中的每一个列向量 Pj ( j ＝ 1,…,m ) 称为基向量，与基向量 Pj 对应 的变量 xj 称为基变量。线性规划中除基变量以外的变量称为非基变量。 基解 :  在约束方程组 (2.2) 中，令所有非基变量 xm+1 ＝ xm+2 ＝…＝ xn ＝0，又因为有 ，根据克莱姆规则，由m个 约束方程可解出m个基变量的唯一解 。将这个解 加上非基变量取0的值有  ，称X为线性规划 问题的基解。显然在基解中变量取非零值的个数不大于方程数m，故基解 的总数不超过  个。  基可行解 :  满足变量非负约束条件 (2.3) 的基解称为基可行解。 可行基 :  对应于基可行解的基称为可行基。 退化解 :  基础可行解的非零分量个数 < m 时，称为退化解 解:该线性规划问题的全部基解见表 l-4 中的 ①-⑧ ， 打√者为基可行解，注*者为最优解， z* ＝ l9 。  √ 19 0 0 3 4 2 ⑧ × 22 0 3 0 4 5 ⑦ √ 17.5 1.5 0 0 2.5 5 ⑥ × 15 4 0 5 0 10 ⑤ × 20 1 0 5 5 0 ④ √ 10 4 5 0 0 5 ③ √ 17 0 2 5 4 0 ② √ 5 4 10 5 0 0 ① 是否基可行解 z x5 x4 x3 x2 x1  六、线性规划标准型问题解的关系 约束方程的 解空间 基础解 可行解 非可行解 基础 可行解 退化解 如 : max z = 2x1 + 3x2 	 s.t. x1 + 2 x2 + x3 = 8 4 x1  + x4  =16  4 x2  +x5 =12  x1 ， x2 ， x3 ， x4 ， x5 0 以 (P3 、 P4 、 P5) 作为基，令 x1 = x2 =0 ，得到 X=(0 ，0，8， 16 ， 12)T 为一个基可行解，对应图中O点； 2 x2  = 8 x4  =16 4 x2 +x5 =12 以 (P1 、 P2 、 P5) 为基，令 x3 = x4 =0 ，可得 X=(4 ，2，0，0， 4)T 是基最优解，对应图中 Q2 点。 x1 x2 O 4  Q2(4,2) Q1 Q3 Q4 3 A 以 (P2 、 P4 、 P5) 作为基，令 x1 = x3 =0 ，由 得 X=(0 ，4，0， 16 ， -4)T 是个基解，不是基可行解，对应图中A点 某厂利用A、B两种原料，生产甲、乙两种产品，有关数据如下： 课堂作业：用图解法求解下列问题 产品名称 甲  乙 单位产品消耗原料 原料名称 可供利用的原料数量（ T/ 日） 6 8  2 2 1 A B 产品售价 （千元 /T ） 3  2 根据市场调查，有如下资料： 1. 乙产品的需求量至多 2 T/ 日 ; 2. 乙产品的需求量比甲产品的需求量至多大 1 T/ 日。 求该厂产值最大的生产方案。  max Z= 3x1+2x2 x1+2x2≤6  2x1+x2≤8 x2≤2 x2 -x1≤1 x1 ， x2≥0 0 x1 x2 X1=10/3,x2 =4/3 Z=12.67 第二章 线性规划问题及单纯形法 线性规划问题及其数学模型 图解法 单纯形法原理 单纯形法计算步骤 单纯形法的进一步讨论 数据包络分析 第三节 单纯形法原理 本节重点： ● 凸集与顶点 ● 线性规划基本定理 ● 检验数的概念和计算 ● 最优性判别 ● 基变换（换入变量和换出变量的确定） 一、线性规划问题的几何意义 ●凸组合的概念 ● 凸集的概念 ● 顶点 ● 线性规划基本定理 二维空间 两点连线上的任何一点都是这两点的凸组合 1. 凸组合 设 X1 ， X2 ， …Xm∈C ，若存在 ， 0≤ ≤1 ，且  ，使 则称 X 为 X1 ， X2 ， …Xm 的凸组合。 X2 X X1 令 2. 凸集  对简单的几何形体可以直观地判断其凹凸性，但在高维空间，只能给出点集的解析表达式，因此只能用数学解析式判断。凸集的概念为：如果集合C中任意两个点 X1 ， X2 ，其连线上的所有点也都是集合C中的点，称C为凸集。由于 X1 ， X2 的连线可表示为 因此凸集定义用数学解析式可表为：对任何 ，有  则称C为凸集 .  第二章 线性规划问题及单纯形法 线性规划问题及其数学模型 图解法 单纯形法原理 单纯形法计算步骤 单纯形法的进一步讨论 数据包络分析 第一节 线性规划问题及其数学模型  线性规划在经营管理中，常常用来解决有限资源（人、财、物）的合理分配问题。在经营管理中，几乎一切问题都与有限资源的合理分配利用有关。线性规划为解决有限资源的合理分配利用提供了一个有效的数学工具。 建立线性规划数学模型是解决线性规划问题的一个重要步骤。  建立的线性规划数学模型是否真正的反映客观实际，数学模型本身是否正确，都直接影响求解结果，从而影响决策结果，所以，建立正确的线性规划模型尤为重要。下面举例说明线性规划数学模型的建立。 一、线性规划数学模型的建立 某厂利用A、B两种原料，生产甲、乙两种产品，有关数据如下： 例1：（产品组合问题） 产品名称 甲  乙 单位产品消耗原料 原料名称 可供利用的原料数量（ T/ 日） 6 8 1  2 2  1 A B 产品售价 （千元 /T ） 3  2 根据市场调查，有如下资料： 1. 乙产品的需求量至多 2 T/ 日 ; 2. 乙产品的需求量比甲产品的需求量至多大 1 T/ 日。 求该厂产值最大的生产方案。 提出三个问题大家考虑： 1. 问题的未知数是什么？  设未知数 2. 以什么准则进行决策？  目标函数 3. 约束条件是什么？ 约束方程 这里生产方案指的是如何安排甲、乙产品的产量。显然，产量是未知数。 ① 设：甲产品的产量为 x1 T/ 日 乙产品的产量为 x2 T/ 日 ② 决策准则是产值最大，用 Z 代表产值，则有： Z=3x1+2x2 Z 是 x1 、 x2 的函数，称为目标函数，目标是求极大值， 即： max Z= 3x1+2x2 ③ 约束条件（分三部分：资源限制、市场限制、非负限制） x1+2x2≤6  2x1+x2≤8 x2≤2 x2 -x1≤1 x1 ， x2≥0  约束条件 资源限制 市场限制 非负限制 2万 m3 1.4 万 m3 2万 m3 1.4 万 m3 整理得数学模型： 目标函数： min z = 1000 x1 + 800 x2 约束条件：  s.t. x1 1 		 0.8 x1 + x2 1.6 			 x1 2 		 x2 1.4 	 x1 0 ， x2 0 例3、配料问题（ min, ) 设 x1, x2 分别代表每粒胶丸中甲、乙两种原料的用量 某厂生产一种胶丸，已知如下资料： 例4、合理下料问题 用 7.4m 长的钢筋，分别截取 2.9m 、 2.1m 、 1.5m 各至少 100 根，要求用料最少。 设 xj 分别代表采用切割方案 1~8 所需 7.4 米的 钢筋的数量。  求解线性规划问题的任务是：在满足约束条件的所有 (x1 ， x2 ，…， xn) （可行解）中求出使目标函数达到最大(小 )z 值的决策变量值 (x1* ， x2* ，…， xn*) （最优解）。 课堂作业：建立线性规划模型  某城市在一昼夜间，市内交通需要车辆数如图，对车辆的需求在昼夜间是变化的，车辆的工作制度是一天连续工作8小时，派车时间在各时间间隔的端点，一旦派出，就连续工作8小时。求保证需要的最小车辆数。 车辆数 时 间 0 4 7 12 16 20 24 4 8 12 4 8 12 10 8 4 派车时间在各时间间隔的端点，一旦派出，就连续工作8小时。 设：各时间间隔所派车辆数为 xj  j=1 ，2，…， 6 则有： min Z=x1+x2+x3+x4+x5+x6 x1+x6≥4 x1+x2≥8 x2+x3≥ 10 x3+x4≥7 x4+x5≥12 x5+x6 ≥4 x1 ， x2 ， x3 ， x4 ， x5 ， x6 ≥0 第二章 线性规划问题及单纯形法 线性规划问题及其数学模型 图解法 单纯形法原理 单纯形法计算步骤 单纯形法的进一步讨论 数据包络分析 第二节  图解法  对模型中只含2个变量的线性规划问题，可以通过在平面上作图的方法求解。 一、图解法的步骤 1. 等直线法  x1 x2 0 4 Q2(4,2) Q1 Q3 Q4 4x1=16 4x2=12 x1+2x2=8 2x1+3x2=0 3 Q2 1. 建立平面直角坐标系； 4．向着目标函数的优化方向平移等值线，直至得到等值线与可行域 的最后交点，这种点就对应最优解。  2. 找出表示每个约束的半平面，所有半平面的交集是可行域 （全体可行解的集合）； 3. 画出目标函数的等值线 ； 2. 试算法 x1 x2 0 4 Q2(4,2) Q1 Q3 Q4 4x1=16 4x2=12 x1+2x2=8 2x1+3x2=0 3 Q2 最优解在顶点达到： O 点： X1=0, X2=0, Z=0 Q1: X1=4, X2=0, Z=8 Q2: X1=4, X2=2, Z=14 Q3: X1=2, X2=3, Z=10 Q4: X1=0, X2=3, Z=6 二、线性规划问题解的存在情况 1. 存在唯一最优解 x1 x2 0 4 Q2(4,2) Q1 Q3 Q4 4x1=16 4x2=12 x1+2x2=8 2x1+3x2=0 3 Q2 如例 1 2. 有无穷多最优解  若将例1目标函数变为 max z = 2x1+ 4x2 ，则问题变为存在无穷多最优解。如图 : x1 x2 0 4 Q2(4,2) Q1 Q3 Q4 4x1=16 4x2=12 x1+2x2=8 2x1+4x2=0 3 Q2 3. 有无界解 z  可行域可伸展到无穷，由此目标函数值也可增大至无穷。这种情况下问题的最优解无界。产生无界解的原因是由于在建立实际问题的数学模型时遗漏了某些必要的资源约束条件。 例如： max Z=2x1+2x2  s.t. -2x1+x2≤4  x1-x2 ≤2 x1 ， x2 ≥0 0 x1 x2 例如： min Z=60x1+50x2  2x1+4x2 ≥ 80 3x1+2x2 ≥ 60 x1 ， x2 ≥0 0 x1 x2 无界不一定无最有解 X1=10, x2 =15 Z=1350  	例2．靠近某河流有两个化工厂（见图），流经第一化工厂的河流流量为每天500万m3，在两个工厂之间有一条流量为每天200万m3的支流。第一化工厂每天排放含有某种有害物质的工业污水2万m3，第二化工厂每天排放这种工业污水1.4万m3。从第一化工厂排出的工业污水流到第二化工厂以前，有20%可以自然净化。根据环保要求，河流中工业污水的含量不应大于0.2%。这两个工厂都需各自处理一部分工业污水。第一化工厂处理工业污水的成本是1000元/万m3，第二化工厂处理工业污水的成本是800元/万m3。现在要问在满足环保要求的条件下，每厂各应处理多少工业污水，使这两个工厂总的处理工业污水费用最小。
 








 
  设x1、x2 分别为第一、第二化工厂每天处理的工业污水量。

约束条件：
 第一化工厂到第二化工厂之间的污水含量要不大于0.2%
	 (2 - x1) / 500 ( 2 / 1000
 流经第二化工厂后，河流中的污水含量仍不大于0.2%
[0.8(2 - x1) + (1.4- x2)] / 700 ( 2 / 1000
 污水处理量限制
	 x1 ( 2，x2 ( 1.4，x1 ( 0，x2 ( 0
目标函数：
 要求两厂用于处理工业污水的费用最小
 min z = 1000 x1+800 x2
 








 
 	原料甲	原料乙	最低含量	 	 VA	 0.5	0.5	2		 VB1	 1.0	0.3	3		 VB2	 0.2	0.6	1.2		 VD	 0.5	0.2	2		 单价	 0.3	0.5			

 方案	 2.9m	2.1m	1.5m	 合计	余料	 	1	2	0	1	7.3	0.1		2	1	2	0	7.1	0.3		3	1	1	1	6.5	0.9		4	1	0	3	7.4	0		5	0	3	0	6.3	1.1		6	0	2	2	7.2	0.2		 7	0	1	3	6.6	0.8	 	 8	0	0	4	6	1.4	 	 
 例1：  max z = 2x1 + 3x2 

 s.t. x1 + 2 x2 ( 8
 4 x1 (16
 4 x2 (12
 x1 ， x2 ( 0 










 max z = 2x1+ 3x2 
 s.t.  x1 + 2 x2 ( 8
  4 x1 (16
  4 x2 (12
 x1 ， x2 ( 0 










 max z = 2x1+ 3x2 
 s.t.  x1 + 2 x2 ( 8
  4 x1 (16
  4 x2 (12
 x1 ， x2 ( 0 










 max z = 2x1+ 4x2 
 s.t.  x1 + 2 x2 ( 8
  4 x1 (16
  4 x2 (12
 x1 ， x2 ( 0 










 下图中 (a) 、 (b) 是凸集， (c) 、 (d) 不是凸集，任何两个凸集的交集是凸集，如图 (e) 。从直观上说，凸集没有凹入部分，其内部没有空洞。 










 若线性规划问题存在可行解，则所有可行解的集合——可行域C = {X| AX= b ， X ( 0 } 是凸集。
证明：(方法2)
	 设 X 1 ( C， X2 ( C，则 A X 1= b ， A X2 = b ， X1 ( 0， X2 ( 0 
	  在 X 1， X2 连线上任取一点 X 
故 AX =A[] 
 = 
		又	 
	 所以 X( C , C 为凸集。
 








 
 如例 10 
max z = 2x1+3x2+ 0 x 3 + 0 x 4 + 0 x 5
 s.t . 
 			 x1 +a1m+1xm+1+ … +a1nxn=b1
			 x2 + a2m+1xm+1+ … +a2nxn=b2
			  …  …
 					  xm+ amm+1xm+1+ … +amnxn=bm	

	 即 ( i=1 ，… ,m)
 因 bi( 0 ( i=1 ，… ,m), 故取初始基为 
B(0)=(P1 ， P 2，… ,Pm) ，
 x1 ，… ,xm 为基变量。 
 可得初始基可行解  X(0)=(b1 ， b2 ，… ,bm ，0，… , 0 )T 
 Z0 = c1b1 + c2b2+ … +cmbm=
 基向量的下标视约束方程而异，不一定是 1,2,…,m 。
  B(0)=(P3 ,P 4 ,P5) 
  X(0)=(0 ， 0 ， 8 ，16，12 )T
 Z0 =0 
 如例 10 
max z = 2x1+3x2+ 0 x 3 + 0 x 4 + 0 x 5
 s.t . 
 2．最优性检验 

 X(0) 是否为最优解？如何检验？
		将  ( i=1 ， 2 ，… ,m)
		 代入目标函数中消去基变量：
		 
		 = 
		令 ，又 
		 则 —— Z与当前非基变量的关系
 如例 10 
max z = 2x1+3x2+ 0 x 3 + 0 x 4 + 0 x 5
 s.t . 
  B(0)=(P3 ,P 4 ,P5) 
  X(0)=(0 ， 0 ， 8 ，16，12 )T
 Z0 =0 
 
				 x1 =b1- a1kxk ( 0  b1 ( a1kxk
				  x2 =b2- a2kxk ( 0  b2 ( a2kxk
				  ? 
							  xm= bm- amkxk ( 0  bm ( amkxk
 X(1)=(b1-a1k ， b2-a2k ，… ,0 ，… , bm-amk ， 
 0，… , 0， ，0，…，0) T
 为一个新的基可行解。 

 新基为 B (1)= ( P1 ，… , P k -1 ， Pk ， P k +1 ，… ,Pm)
 换出变量确定方法:
 一般，计算 ( =  ，第 l 个约束对应的基变量为换出变量。
 	 例10 中，当前解 X( 0 ) ， x2 为换入变量。要使
			 x3  =8 – 2x2 ( 0
 			 	 x4 =16  ( 0
 				  x5 =12 – 4x2 ( 0
 (2) 换入变量的确定方法
一般，当  { | >0}= (k，取 xk 为换入变量。 
 (3) 换出变量确定方法
 一般，计算 ( =  ，第 l 个约束对应的基变量为换出变量。
 			 x1 +a1m+1xm+1+ +a1nxn=b1
			 x2 + a2m+1xm+1+ +a2nxn=b2
			  ? ?  					  xm+ amm+1xm+1+ +amnxn=bm	
 
 cj(	c1	 ?j cm	cm+1	 ?m cn	(I		CB	XB	b	x1	 ?n xm	xm+1	 ?m xn	 	 	c1
c2

cm	x1
x2

xm	b1
b2

bm	1
0

0	 
 
 
 ?
 0
0

1	a1,m+1
a2 , m+1
 
am , m+1	 
 
 
 ?
 a1n
a2n

amn	(1
(2
 
(m		 	 z	z 值	0	…	0	( m +1	…	( n	 	 	
 (5) 以 alk 为主元素进行迭代 ( 即用高斯消去法 ) ，把 xk 所对应的列向量变换为 (0 ，0，…，1，…，0 ) T，将 XB 列中的第L个基变量换为 xk ，得到新的单纯形表，返回 (2) 。 
 例 10
 
max z = 2x1+3x2
s.t .
 cj(						(		CB  XB	b	x1	x2	x3	x4	x5			
 
 										z	 	 		 	 				
 例10 的初始单纯形表： 
 cj(						(		CB  XB	b	x1	x2	x3	x4	x5			
 
 										z	 	 		 	 				
 cj(						(		CB  XB	b	x1	x2	x3	x4	x5			
 
 										z	 	 		 	 				
 cj(						(		CB  XB	b	x1	x2	x3	x4	x5			
 
 										-z	 	 		 	 				
 cj(						(		CB  XB	b	x1	x2	x3	x4	x5			
 
 										-z	 	 		 	 				
 cj(						(		CB  XB	b	x1	x2	x3	x4	x5			
 
 										z	 	 		 	 				
 
II	(10	x1	3	1	1/2	0	(1/2	0	1/2	6			(7	x3	1	0	(1/2)	1	1/2	(1	(1/2	(2)			 (37 	(10	(17/2 	(7	3/2	7	(3/2					cj(zj(	0	1/2	0	(3/2	(7	(M+3/2			
 III
 最优解	 (10	x1	2	1	0	(1	(1	1	1				(8	x2	2	0	1	2	1	(2	(1				 (36 	(10	(8 	(6	2	6	(2					cj(zj(	0	0	(1	(2	(6	(M+2			
 序号	 			x1	x2	x3	x4	x5	x6				CB	XB	b	(10	(8	(7	0	0	(M	bi/aij*		 I
初始解	 (M	x6	6	(2)	1	0	(1	0	1	(3)			(7	x3	4	1	1	1	0	(1	0	4			 (6M(28 	(2M(7	(M(7	(7	M	7	(M					cj(zj(	2M(3	M(1	0	(M	(7	0			
 序号	 			x1	x2	x3	x4	x5	x6				CB	XB	b	0	0	0	0	0	(1	bi/aij*		 
I	 (1	x6	6	(2)	1	0	(1	0	1	(3)			0	x3	4	1	1	1	0	(1	0	4			 (6 	(2	(1	0	1	0	(1					cj(zj(	2	1	0	(1	0	0			
 
II	0	x1	3	1	1/2	0	(1/2	0	1/2				0	x3	1	0	1/2	1	1/2	(1	(1/2				 0 	0	0	0	0	0	0					cj(zj(	0	0	0	0	0	(1			
 序号	 			x1	x2	x3	x4	x5				CB	XB	b	(10	(8	(7	0	0	bi/aij*		 
I	 (10	x1	3	1	1/2	0	(1/2	0	6			(7	x3	1	0	(1/2)	1	1/2	(1	(2)			 (37 	(10	(17/2	(7	3/2	7					cj(zj(	0	1/2	0	(3/2	(7			
 
II	(10	x1	2	1	0	(1	(1	1				(8	x2	2	0	1	2	1	(2				 (36 	(10	(8 	(6	2	6					cj(zj(	0	0	(1	(2	(6			
 序号	 			 1	1	0	0	 			CB	XB	b	x1	x2	x3	x4	bi/aij*		 I
初始解	 0	x3	100	 2	1	1	0	 			0	x4	50	(1)	 1	0	1	(50)			 OBJ = 0 	0	0	0	0					cj-zj(	1	1	0	0			 
 II	0	x3	200	 	 1	1	2				1	x1	50	1	 1	0	1				 OBJ = 50 	1	 	0	1					cj-zj(	0	2	0	 			
 序号	 			 3	4	0	0	 			CB	XB	b	x1	x2	x3	x4	bi/aij*		 
 II	0	x3	40	 	(2)	1	0	(20)			0	x4	60	0	  	0	1	(20)			3	x1	0	1	 	0	0	 			 OBJ = 0 	3	 3	0	0					cj-zj(	0	7	0	0			 
 III	4	x2	20	 	1	1/2	0				0	x4	0	0	 	 3/2	1				3	x1	20	1	 	1/2	0				 OBJ = 140 	3	 	3.5	0					cj-zj(	0	0	 3.5	 			
 序号	 			x1	x2	x3	x4	x5				CB	XB	b	40	45	25	0	0	bi/aij*		 I
初始解	 0	x4	100	2	(3)	1	1	0	(33.3)			0	x5	120	3	3	2	0	1	40			 OBJ = 0 	0	0	0	0	0					cj-zj(	40	45	25	0	0			 	 	 迭代 	 过程	 						



 III
 最优解 	45	x2	20	0	1	(1/3	1	(2/3	 			40	x1	20	1	0	(1)	(1	1	(20)			 OBJ = 1700 	40	45	25	5	10					cj-zj(	0	0	0	(5	(10			
 I V
最优解 	45	x2	2 6 .67	1/3	1	0	2/3	(1/3				 25	 x 3	 20	1	0	1	(1	1				 OBJ = 1700 	40	45	25	5	10					cj-zj(	0	0	0	(5	(10			
 序号	 			x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9				CB	XB	b	0	0	0	0	0	0	 1	 1	 1	bi/aij*		 I
初始解	 1	x7	1	1	1	(2)	 1	0	0	1	0	0	(1/2)		 	 1	x8	2	1	 1	 1	0	 1	0	0	1	0	 			 1	x9	1	 1	1	1	0	0	 1	0	0	1	1			 OBJ = 4 	 1	 1	 2	1	1	1	 1	 1	 1					cj-zj(	1	1	2	 1	 1	 1	0	0	0			



 
II	45	x2	100/3	2/3	1	1/3	1/3	0	50			0	x5	20	(1)	0	1	(1	1	(20)			 OBJ = 1500 	30	45	15	15	0					cj-zj(	10	0	9	(15	0			
 
 
II	 	x3	1/2	1/2	1/2	1	-1/2	0	0	1/2	0	0			 	 1	x8	5/2	3/2	-1/2	 	-1/2	 1	0	1/2	1	0				 1	x9	1/2	-3/2	1/2	0	1/2	0	 1	-1/2	0	1				 OBJ = 3 	 	 	 	0	1	1	0	 1	 1					cj-zj(	0	0	0	 	 1	 1	 1	0	0			



 
II	45	x2	100/3	2/3	1	1/3	1/3	0	50			0	x5	20	(1)	0	1	(1	1	(20)			 OBJ = 1500 	30	45	15	15	0					cj-zj(	10	0	9	(15	0