第十三届全国中学生物理竞赛复赛题
全卷共六题，总分为140分。
一、（20）如图复13 - 1所示，有一匀质细导线弯成的半径为a的圆线圈和一内接等边三角形的电阻丝组成的电路（电路中各段的电阻值见图）。在圆线圈平面内有垂直纸面向里的均匀磁场，磁感应强度随时间t均匀减小，其变化率的大小为一已知常量k。已知2=3。试求图中A、B两点的电势差-。
二、（20分）长度为4毫米的物体AB由图复13 - 2所示的光学系统成像。光学系统由一个直角棱镜、一个会聚透镜和一个发散透镜组成，各有关参数和几何尺寸均标示于图上。
求（1）像的位置；
（2）像的大小，并作图说明是实像还是虚像，是正立还是倒立的。
三、（25分）如图复13 - 3所示，四个质量均为m的质点，用同样长度且不可伸长的轻绳联结成菱形ABCD。静止放在水平光滑的桌面上。若突然给质点A一个历时极短沿CA方向的冲击，当冲击结束的时刻，质点A的速度为V，其它质点也获得一定速度，∠BAD = 2α(α＜π/4 )。求此质点系统受冲击后所具有的总动量和总能量。
四、（25分）在一个半径为R的导体球外，有一个半径为r的细圆环，圆环的圆心与导体球心的连线长为a (a＞R)，且与环面垂直，如图复13 - 4所示。已知环上均匀带电，总电量为q ，试问：
1、当导体球接地时，球上感应电荷总电量是多少？
2、当导体球不接地而所带总电量为零时，它的电势如何？
3、当导体球的电势为时，球上总电荷又是多少？
4、情况3与情况1相比，圆环受导体球的作用力改变量的大小和方向如何？
5、情况2与情况1相比，圆环受导体球的作用力改变量的大小和方向如何？
〔注〕已知：装置不变时，不同的静电平衡带电状态可以叠加，叠加后仍为静电平衡状态。
五、有一个用伸缩性极小且不漏气的布料制作的气球（布的质量可忽略不计），直径为
d = 2.0米。球内充有压强=1.005×帕的气体。该布料所能承受的最大不被撕破力为
= 8.5×牛顿/米（即对于一块展平的1米宽的布料，沿布面而垂直于布料宽度方向所施加的力超过8.5×牛顿时，布料将被撕破）。开始时，气球被置于地面上，该处的大气压强为=1.000×帕，温度= 293开。假设空气的压强和温度均随高度而线性地变化 ，压强的变化为= - 9.0 帕/米，温度的变化为= - 3.0×开/米，问该气球上升到多高时将破裂？
假设气球上升很缓慢，可认为球内温度随时与周围空气的温度保持一致。在考虑气球破裂时，可忽略气球周围各处和底部之间空气压强的差别。
六、有七个外形完全一样的电阻，已知其中六个的阻值相同，另一个的阻值不同。请按照下面提供的器材和操作限制，将那个阻值不同的电阻找出，并指出它的阻值是偏大还是偏小，同时要求画出所用电路图，并对每步判断的根据予以论证。
提供的器材有：①电池。②一个仅能用来判断电流方向的电流表（量程足够），它的零刻度在刻度盘的中央，而且已知当指针向右偏时电流是由哪个接线柱流入电流表的。③导线若干。
操作限制：全部过程中电流表的使用不得超过三次。
第十三届全国物理竞赛复赛试题解答
一、在各段电路上，感应电流的大小和方向如图复解13 - 1所示电流的分布，已考虑到电路的对称性，根据法拉第电磁感应定律和欧姆定律，对半径为α的圆电路，可得
                πk = 2+     
对等边三角形三个边组成的电路，可得
3k / 4 = 2+ 2
对由弦AB和弧AB构成的回路，可得
（π-3/ 4）k / 3 = - 
考虑到，流进B点的电流之和等于流出B点电流之和，有
  +  = + 
由含源电路欧姆定律可得 
-  = πk /3 -  
由以上各式及题给出的 = 2 / 3可解得
         -  =  - k / 32
二、解法一：1、分析和等效处理
根据棱镜玻璃的折射率，棱镜斜面上的全反射临界角为= arcsin ( 1 / n ) 
注意到物长为4mm，由光路可估算，进入棱镜的近轴光线在斜面上的入射角大多在左右，大于临界角，发生全反射。所以对这些光线而言，棱镜斜面可看成是反射镜。本题光路可按反射镜成像的考虑方法，把光路“拉直”如图复解13 – 2 - 1所示。现在，问题转化为正立物体经过一块垂直于光轴、厚度为6cm的平玻璃板及其后的会聚透镜、发散透镜成像的问题。
2、求像的位置；厚平玻璃板将使物的近轴光线产生一个向右侧移动一定距离的像，它成为光学系统后面部分光路的物，故可称为侧移的物。利用沿光轴的光线和与光轴成α角的光线来讨论就可求出这个移动的距离。
设轴上的物点为B。由于厚平玻璃板的作用（即侧移的物点）为B′（如图复解13 – 2 - 2所示）。画出厚平玻璃板对光线的折射，由图可知 Δl = d（ctgα）
而                          d = D（tgα- tgβ）
所以                       Δl = D（1 – tgα/ tgβ）
当α为小角度时          tgβ/ tgα≈sinβ/ sinα= 1/n 
故得                     Δl = D（1 – 1 / n）= 2 cm
这也就是物AB与它通过厚玻璃板所成的像之间的距离。这个像对透镜来说就是物，而物距  
  =〔 （6 – 2 ）+ 6 + 10 〕cm = 20 cm
可见，物正好在的左方焦平面上，像距即为= ∞ 。
再考虑透镜，这是平行光线入射情形，= ∞ 。
所以必须成像于这个发散透镜左侧的焦平面上（虚像） =  = - 10 cm
整个光路的最后成像位置就是在的左侧10 cm处。
3、求像的大小和虚、实、正、倒情况：可用作图法求解，如图复解13 – 2 - 3所示（为了图示清楚图中把物高加大了）。 连接并延长， 便得到发自的光线经后的平行光线的方向。过的光心作的平行线，它与交于C点，则C即为从发出经过折射后又通过光心的光线。反向延长C与左侧焦平面的交点就是由与所成的像点。 令左侧焦面与光轴的交点为。就是的像，这是一个正立的虚像。由图可得
                  =  tgγ
              = tgγ
而与AB等高，所以像的大小为
	       = （ / ）= 2 mm
解法二：关于物体AB经棱镜（折射，反射，折射）后，所成像的位置及大小可采用视深法处理。如图复解13 – 2 - 4所示，AB发出的、与PQ面近乎垂直的小光束经PQ面折射后成像于这是视深问题。、与PQ面的距离均为A、B与PQ面的距离的n倍，即
 = n   = （像与物的大小相同）
 经PR面的反射成像于，大小不变，且
          经QR面后折射成像于，大小不变，且
 = 
=（6 / 1. 5 + 6）cm  = 10 cm  
由此即可求出这个像作为透镜的物的物距，其它部分的求解同解法（一）。
三、由对称性可知，C点的速度也必沿CA方向，设其大小为。D的速度可以分解为平行于v和垂直于v的分速度，其大小分别设为。同样，B的速度也类似地分解为平行和垂直于v的二个分速度 ，其大小设为 ，如图复解13 - 3所示，根据对称性，必有
由于绳子不可伸长，A沿DA的分速度和D沿DA的分速度 一定相等，C沿CD的分速度和D沿CD的分速度也相等，即
另一方面，设绳子AD给质点D的冲量的大小为，绳子DC给质点C冲量大小为。注意到绳子DC给质点D的冲量的大小同样也是（各冲量的方向均沿绳子方向）。由对称性还可以判定，绳子AB给质点B的冲量的大小也是，绳子BC给质点B和C的冲量的大小都是，根据动量定理，可分别列出关于质点D平行和垂直于v的方向以及质点C平行于v方向的关系式如下：
由（3）~（7）式可解出本题所需的 、   
据此结果和（1）、（2）式，此系统的总动量为
 ，        方向沿CA方向。
此系统的总动能为
四、1、见图复解13 – 4 。导体是一个等势体，所以导体球接地（= 0 ）时，对于球心点有
          =  =  0             （1）
另一方面，可以直接计算球心点的电势。因为所有感应电荷都分布在球面上，它们到球心的距离都是R，而圆环上电荷到球心的距离都是，所以
= K/ R + Kq /        （2）
式中就是要求的感应电荷总量。由（1）、（2）两式即得 
         = - Rq /                     （3）
2、导体球不接地时，其电势可通过对球心的电势计算而求得：
= = K/ R + K q          （4）
式中表示分布在球面上所有电荷的代数和，而导体球体内是不会有电荷分布的。由于题给导体球为电中性，即= 0，所以由（4）式得
= K/                         （5）
3、导体球的电势为时，再以球心点考虑：
= =                             （6）
而另一方面，球心的电势是球面上电荷和圆环上电荷分别产生的电势的迭加：
         = K/ R + K q                   （7）
导体球的总电荷就是球面上的电荷总量，由（6）、（7）两式解得
         = = R/ K - Rq                  （8）
4、对比（8）式和（3）式可知，情况3 比情况 1 只是在导体球上多了电荷R/ K，而导体球的电势

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