2008年北京市中考数学试卷
一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）
1．的绝对值等于（    ）A．		B．		C．		D．
A
2．截止到2008年5月19日，已有21 600名中外记者成为北京奥运会的注册记者，创历届奥运会之最．将21 600用科学记数法表示应为（    ）
A．		B．		C．		D．
D
3．若两圆的半径分别是1cm和5cm，圆心距为6cm，则这两圆的位置关系是（    ）
A．内切		B．相交		C．外切		D．外离
C
4．众志成城，抗震救灾．某小组7名同学积极捐出自己的零花钱支援灾区，他们捐款的数额分别是（单位：元）：50，20，50，30，50，25，135．这组数据的众数和中位数分别是（    ）
A．50，20		B．50，30		C．50，50		D．135，50
C
5．若一个多边形的内角和等于，则这个多边形的边数是（    ）
A．5		B．6		C．7		D．8
B
6．如图，有5张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有北京奥运会的会徽、吉祥物（福娃）、火炬和奖牌等四种不同的图案，背面完全相同．现将这5张卡片洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面图案恰好是吉祥物（福娃）的概率是（    ）
A．		B．		C．		D．
B
7．若，则的值为（    ）A．		B．		C．		D．
B
8．已知为圆锥的顶点，为圆锥底面上一点，点在上．一只蜗牛从点出发，绕圆锥侧面爬行，回到点时所爬过的最短路线的痕迹如右图所示．若沿将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（    ）
D
二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）
9．在函数中，自变量的取值范围是          ．
10．分解因式：         ．
11．如图，在中，分别是的中点，若，则    cm．
4
12．一组按规律排列的式子：，，，，…（），其中第7个式子是     ，第个式子是        （为正整数）．
、
三、解答题（共5道小题，共25分）
13．（本小题满分5分）
计算：．
	4分
．5分解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
去括号，得．1分
移项，得．2分
合并，得．3分
系数化为1，得．4分
不等式的解集在数轴上表示如下：
	5分15．（本小题满分5分）
已知：如图，为上一点，点分别在两侧．，，．求证：．
，
．	2分
在和中，
．	4分
．	5分
16．（本小题满分5分）
如图，已知直线经过点，求此直线与轴，轴的交点坐标．
由图象可知，点在直线上，	1分
．
解得．	2分
直线的解析式为．	3分
令，可得．
直线与轴的交点坐标为．	4分
令，可得．
直线与轴的交点坐标为．	5分
17．（本小题满分5分）
已知，求的值．
	2分
．	3分
当时，．	4分
原式．	5分
四、解答题（共2道小题，共10分）
18．（本小题满分5分）
如图，在梯形中，，，，，，求的长．
解法一：如图1，分别点作于点，
于点．1分
．
又，
四边形是矩形．
．2分
，，，
．
．
，
4分
在中，，
．5分
解法二：如图2，过点作，分别交于点．1分
，
．
，
．
在中，，，，
2分
在中，，，，
．
．4分
在中，，
．5分
已知：如图，在中，，点在上，以为圆心，长为半径的圆与分别交于点，且．
（1）判断直线与的位置关系，并证明你的结论；
（2）若，，求的长．
⑴ 直线与相切．1分
证明：如图1，连结．
，
．
，．
又，
．
．
直线与相切．2分
解法一：如图1，连结．
是的直径，．
，
．3分
，，
．4分
，．5分
解法二：如图2，过点作于点．．，
．分，，
．	4分
，
．	5分
五、解答题（本题满分6分）
20．为减少环境污染，自2008年6月1日起，全国的商品零售场所开始实行“塑料购物袋有偿使用制度”（以下简称“限塑令”）．某班同学于6月上旬的一天，在某超市门口采用问卷调查的方式，随机调查了“限塑令”实施前后，顾客在该超市用购物袋的情况，以下是根据100位顾客的100份有效答卷画出的统计图表的一部分：
“限塑令”实施后，塑料购物袋使用后的处理方式统计表
处理方式	直接丢弃	直接做垃圾袋	再次购物使用	其它		选该项的人数占
总人数的百分比	5%	35%	49%	11%		请你根据以上信息解答下列问题：
（1）补全图1，“限塑令”实施前，如果每天约有2 000人次到该超市购物．根据这100位顾客平均一次购物使用塑料购物袋的平均数，估计这个超市每天需要为顾客提供多少个塑料购物袋？
（2）补全图2，并根据统计图和统计表说明，购物时怎样选用购物袋，塑料购物袋使用后怎样处理，能对环境保护带来积极的影响．
⑴ 补全图1见下图．	1分
（个）．
这100位顾客平均一次购物使用塑料购物袋的平均数为3个．	3分
．
估计这个超市每天需要为顾客提供6000个塑料购物袋．	4分
⑵ 图2中，使用收费塑料购物袋的人数所占百分比为．	5分
根据图表回答正确给1分，例如：由图2和统计表可知，购物时应尽量使用自备袋和押金式环保袋，少用塑料购物袋；塑料购物袋应尽量循环使用，以便减少塑料购物袋的使用量，为环保做贡献．	6分
六、解答题（共2道小题，共9分）
21．（本小题满分5分）列方程或方程组解应用题：
京津城际铁路将于2008年8月1日开通运营，预计高速列车在北京、天津间单程直达运行时间为半小时．某次试车时，试验列车由北京到天津的行驶时间比预计时间多用了6分钟，由天津返回北京的行驶时间与预计时间相同．如果这次试车时，由天津返回北京比去天津时平均每小时多行驶40千米，那么这次试车时由北京到天津的平均速度是每小时多少千米？
设这次试车时，由北京到天津的平均速度是每小时千米，则由天津返回北京的平均速度是每小时千米．	1分
依题意，得．	3分
解得．	4分
答：这次试车时，由北京到天津的平均速度是每小时200千米．	5分
22．（本小题满分4分）
已知等边三角形纸片的边长为，为边上的点，过点作交于点．于点，过点作于点，把三角形纸片分别沿按图1所示方式折叠，点分别落在点，，处．若点，，在矩形内或其边上，且互不重合，此时我们称（即图中阴影部分）为“重叠三角形”．
（1）若把三角形纸片放在等边三角形网格中（图中每个小三角形都是边长为1的等边三角形），点恰好落在网格图中的格点上．如图2所示，请直接写出此时重叠三角形的面积；
（2）实验探究：设的长为，若重叠三角形存在．试用含的代数式表示重叠三角形的面积，并写出的取值范围（直接写出结果，备用图供实验，探究使用）．
解：（1）重叠三角形的面积为         ；
（2）用含的代数式表示重叠三角形的面积为      ；的取值范围为     ．
⑴ 重叠三角形的面积为．	1分
⑵ 用含的代数式表示重叠三角形的面积为；	2分
的取值范围为．	4分
七、解答题（本题满分7分）
23．已知：关于的一元二次方程．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为，（其中）．若是关于的函数，且，求这个函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量的取值范围满足什么条件时，．
⑴ 是关于的一元二次方程，
．
当时，，即．
方程有两个不相等的实数根．	2分
⑵ 解：由求根公式，得．
或．	3分
，
．
，
，．	4分
．
即为所求．	5分
⑶ 在同一平面直角坐标系中分别画出
与的图象．
	6分
由图象可得，当时，．	7分
八、解答题（本题满分7分）
24．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，点的坐标为，将直线沿轴向上平移3个单位长度后恰好经过两点．
（1）求直线及抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为，点在抛物线的对称轴上，且，求点的坐标；
（3）连结，求与两角和的度数．
⑴ 沿轴向上平移3个单位长度后经过轴上的点，
．
设直线的解析式为．
在直线上，
．
解得．
直线的解析式为．	1分
抛物线过点，
解得
抛物线的解析式为．	2分
⑵ 由．
可得．
，，，．
可得是等腰直角三角形．
，．
如图1，设抛物线对称轴与轴交于点，
．
过点作于点．
．
可得，．
在与中，，，
．
，．
解得．
点在抛物线的对称轴上，
点的坐标为或．	5分
⑶ 解法一：
如图2，作点关于轴的对称点，则．
连结，
可得，．
由勾股定理可得，．
又，
．
是等腰直角三角形，，
．
．
．
即与两角和的度数为．	7分
解法二：
如图3，连结．
同解法一可得，．
在中，，，
．
在和中，
，，．
．
．
．
，
．
即与两角和的度数为．	7分
九、解答题（本题满分8分）
25．请阅读下列材料：
问题：如图1，在菱形和菱形中，点在同一条直线上，是线段的中点，连结．若，探究与的位置关系及的值．
小聪同学
2008年北京市中考数学试卷（含答案）.doc