2011年全国各地数学中考题汇编——压轴题 (黄冈市2011)24.(14分)如图所示,过点F(0,1)的直线y=kx+b与抛物线交于M(x1,y1)和N(x2,y2)两点(其中x1<0,x2<0). ⑴求b的值. ⑵求x1?x2的值 ⑶分别过M、N作直线l:y=-1的垂线,垂足分别是M1、N1,判断△M1FN1的形状,并证明你的结论. ⑷对于过点F的任意直线MN,是否存在一条定直线m,使m与以MN为直径的圆相切.如果有,请法度出这条直线m的解析式;如果没有,请说明理由. 答案:24.解:⑴b=1⑵显然和是方程组的两组解,解方程组消元得,依据“根与系数关系”得=-4 ⑶△M1FN1是直角三角形是直角三角形,理由如下: 由题知M1的横坐标为x1,N1的横坐标为x2,设M1N1交y轴于F1,则F1M1?F1N1=-x1?x2=4,而FF1=2,所以F1M1?F1N1=F1F2,另有∠M1F1F=∠FF1N1=90°,易证Rt△M1FF1∽Rt△N1FF1,得∠M1FF1=∠FN1F1,故∠M1FN1=∠M1FF1+∠F1FN1=∠FN1F1+∠F1FN1=90°,所以△M1FN1是直角三角形. ⑷存在,该直线为y=-1.理由如下: 直线y=-1即为直线M1N1. 如图,设N点横坐标为m,则 (黄石市2011年)24.(本小题满分9分)已知⊙与⊙相交于、两点,点在⊙上,为⊙上一点(不与,,重合),直线与⊙交于另一点。 (1)如图(8),若是⊙的直径,求证:; (2)如图(9),若是⊙外一点,求证:; (3)如图(10),若是⊙内一点,判断(2)中的结论是否成立。 答案:24.(9分)证明:(1)如图(一),连接, ∵为⊙的直径 ∴ ∴为⊙的直径 ∴在上 又,为的中点 ∴△是以为底边的等腰三角形 ∴ (3分) (2)如图(二),连接,并延长交⊙与点,连 ∵四边形内接于⊙ ∴ 又∵ ∴ ∴ 又为⊙的直径 ∴ ∴ (3分) (3)如图(三),连接,并延长交⊙与点,连 ∵ 又 ∴ ∴ 又 ∴ (3分) (黄石市2011年)25.(本小题满分10分)已知二次函数 (1)当时,函数值随的增大而减小,求的取值范围。 (2)以抛物线的顶点为一个顶点作该抛物线的内接正三角形(,两点在抛物线上),请问:△的面积是与无关的定值吗?若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由。 (3)若抛物线与轴交点的横坐标均为整数,求整数的值。 答案:25.(10分)解:(1)∵ ∴由题意得, (3分) (2)根据抛物线和正三角形的对称性,可知轴,设抛物线的对称轴与交于点,则。设 ∴ 又 ∴ ∴ ∴, ∴定值 (3分) (3)令,即时,有 由题意,为完全平方数,令 即 ∵为整数, ∴的奇偶性相同 ∴或 解得或 综合得 (2011年广东茂名市)如图,⊙P与轴相切于坐标原点O(0,0),与轴相交于点A(5,0),过点A的直线AB与轴的正半轴交于点B,与⊙P交于点C. (1)已知AC=3,求点B的坐标; (4分) (2)若AC=, D是OB的中点.问:点O、P、C、D四点是否在同一圆上?请说明理由.如果这四点在同一圆上,记这个圆的圆心为,函数的图象经过点,求的值(用含的代数式表示). (4分) 解: 六、(2小题,,)24、解:(1)解法一:连接OC,∵OA是⊙P的直径,∴OC⊥AB, 在Rt△AOC中,,1分 在 Rt△AOC和Rt△ABO中,∵∠CAO=∠OAB ∴Rt△AOC∽Rt△ABO,····························2分 ∴,即, ····················3分 ∴ , ∴····················4分 解法二:连接OC,因为OA是⊙P的直径, ∴∠ACO=90° 在Rt△AOC中,AO=5,AC=3,∴OC=4, ············1分 过C作CE⊥OA于点E,则:, 即:,∴,·························2分 ∴ ∴,·········3分 设经过A、C两点的直线解析式为:. 把点A(5,0)、代入上式得: , 解得:, ∴ , ∴点 .·4分 (2)点O、P、C、D四点在同一个圆上,理由如下: 连接CP、CD、DP,∵OC⊥AB,D为OB上的中点, ∴, ∴∠3=∠4,又∵OP=CP,∴∠1=∠2,∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°, ∴PC ⊥CD,又∵DO⊥OP,∴Rt△PDO和Rt△PDC是同以PD为斜边的直角三角形,∴PD上的中点到点O、P、C、D四点的距离相等, ∴点O、P、C、D在以DP为直径的同一个圆上; ·················6分 由上可知,经过点O、P、C、D的圆心是DP的中点,圆心, 由(1)知:Rt△AOC∽Rt△ABO,∴,求得:AB=,在Rt△ABO中, ,OD=, ∴,点在函数的图象上, ∴, ∴. ················8分 (2011年广东茂名市)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线经过点A(0,4),B(1,0),C(5,0),抛物线对称轴与轴相交于点M. (1)求抛物线的解析式和对称轴; (3分) (2)设点P为抛物线()上的一点,若以A、O、M、P为顶点的四边形四条边的长度为四个连续的正整数,请你直接写出点P的坐标; (2分) (3)连接AC.探索:在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N,使△NAC的面积最大?若存在,请你求出点N的坐标;若不存在,请你说明理由. (3分) 解: 25、解:(1)根据已知条件可设抛物线的解析式为,············1分 把点A(0,4)代入上式得:, ∴,···········2分 ∴抛物线的对称轴是:.······································3分 (2)由已知,可求得P(6,4). ···································5分 提示:由题意可知以A、O、M、P为顶点的四边形有两条边AO=4、OM=3,又知点P的坐标中,所以,MP 2,AP 2;因此以1、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不符合题意,所以四条边的长只能是3、4、5、6的一种情况,在Rt△AOM中,,因为抛物线对称轴过点M,所以在抛物线的图象上有关于点A的对称点与M的距离为5,即PM=5,此时点P横坐标为6,即AP=6;故以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边长度分别是四个连续的正整数3、4、5、6成立, 即P(6,4).···································5分 (注:如果考生直接写出答案P(6,4),给满分2分,但考生答案错误,解答过程分析合理可酌情给1分) ⑶法一:在直线AC的下方的抛物线上存在点N,使△NAC面积最大. 设N点的横坐标为,此时点N(,过点N作NG∥轴交AC于G;由点A(0,4)和点C(5,0)可求出直线AC的解析式为:;把代入得:,则G, 此时:NG=-(), =. ······································7分 ∴ ∴当时,△CAN面积的最大值为, 由,得:,∴N(, -3). ········ 8分 法二:提示:过点N作轴的平行线交轴于点E,作CF⊥EN于点F,则 (再设出点N的坐标,同样可求,余下过程略) (重庆市潼南县2011年)26.(12分)如图,在平面直角坐标系中,△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1, OC=4,抛物线经过A,B两点,抛物线的顶点为D. (1)求b,c的值; (2)点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点(点A、BE作x轴的垂线 交抛物线于点F,当线段EF的长度最大时,求点E的坐标; (3)在(2)的条件下:①求以点E、B、F、DP,使△EFP是以EF为直角边的直角三角形? 若存在,求出所有点P的坐标;若不存在,说明理由. 26. 解:(1)由已知得:A(-1,0) B(4,5)------------1分 ∵二次函数的图像经过点A(-1,0)B(4,5) ∴ ------------2分 解得:b=-2 c=-3 ------------3分 (2如26题图:∵直线AB经过点A(-1,0) B(4,5) ∴直线AB的解析式为:y=x+1 ∵二次函数 ∴设点E(t, t+1),
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