[文件]  sxjsck0017.doc
[科目]  数学
[关键词]  初二/计数
[标题]  穷举与计数
[内容]
穷举与计数
穷举法
老奶奶数鸡蛋，她小心翼翼垢马鸡蛋从篮子里一个一个往外拿，边拿边数，篮子里的鸡蛋拿光了，有多少个鸡蛋也就数出来了，这样一种计数的方法就是穷举法，一般地说，穷举法就是把要求计数所有物体一一列举出来，最后计算总数的方法，无疑它是最简单、最原始、最基本的计算方法，运用穷举进行列举时，必须注意无一重复、无一遗漏，为此，须力求有次序、有规律地进行.
例1 请你数一数图15-1中共有多少条不同线段？（此处无图）
解以A为左端点的线段共有4条：AB、AC、AD、AE；以B为端点线段有三条：BC、BD、BE；以C为左端点的线段有二条：CD、CE；
以D为左端点的线段有一条：DE.
故共有4+3+2+1=10条不同线段.
这里也可以把不包含其它点的线段（如DE）称为基本线段，再分为仅含一条基本线段、含两条基本线段、含三条基本线段、含四条基本线段的四类来计算.
上图线段AE中包含三个点，不难看出，即使包含100个点也可马上知道有不同线段
例2 有一无盖立方体纸箱，若将其沿棱剪成展开图，问有多少种不同形式的展开图？
解因总面数是5，不会出现5个面全部排成一行（列）的情形.
当一行（列）面数最多是4时，有两种情形（注意对称性），如图15-2（a）
当一行（列）面数最多是3时，剩下的两个面位于这一行（列）的同一侧有两种不同情形，如图15-2（b）
剩下的两个面位于这一行（列）的异侧有三种不同情形，如图15-2（C）
当一行（列）的面数最多是2时，仅一种情形，如图15-2(d)（此处无图）所示.
总数为2+2+3+1=8种，即有8种不同的展开形式.
例3 将无区别的七个桔子分别放置在三个同样的盘子内，允许有的盘子空着不放，请问有多少种不同的放法？
解 设盛在三个盘子内的桔子数分别为x、y、z个,x、y、z为整数，由于桔子无区别，盘子也无区别，故可令x≥y≥z≥0，依题意有
当
当
当
当
当
所以共有8种不同的放置方法：（3，3，1），（3，2，2），（4，3，0），（4，2，1）
（5，2，0），（5，1，1），（6，1，0），（7，0，0）
例4（上海1989年高二数学竞赛题）已知黄鸡、花鸡生蛋规律如下：黄鸡停一天，连产两天，每天生一个蛋，现停一天……，花鸡停一天后连两产四天，每天生一个蛋，再停一天……，第一天两只鸡都停产，从第一个星期到第20个星期内，记第n个星期黄鸡生蛋数为f(n)，花鸡生蛋数为g(n),(1≤n≤20)，用a、b、c、d分别表示g(n)-f(n)=2，1，0，-1的n个数，则(a、b、c、d)=_____
分析此题读来费解，不妨列一个表：（此处无表）
显然     
树形图
利用树形图进行穷举是常用的行之有效的方法，树形图既形象直观，又简单方便，且条理明晰，不致重复遗漏.
例5 有一学生放暑假在三个城市a、b、c游览，他今天在这个城市，明天又到另一个城市，请问这位学生从a城出发，住4天后仍回到a城有多少条不同的游览路线？
解作树形图15-3如下：
根据图15-3，知有6条不同的游览路线.
例6甲、乙两人进行象棋比赛，双方约定先胜四盘者胜，若赛完三盘后，甲的战果是二胜一负，试问到决出最后用负为止，可能有几种不同情形？其中甲胜的不同情形有几种？（假设没有和棋）.
解在第三和盘以后的比赛中，若甲先胜两盘，或乙先胜三盘，均能决出结果，比赛至多进行七盘，因此如果用“甲”表示甲胜，用“乙”表示乙胜，那么表示战况的树形图如图15-4所示：
从图15-4中可以看出，甲、乙两人最终决出胜负的不同情形有10种，其中有6种情形甲获胜.
例7有五个朋友在一俱乐部聚会，他们各自将礼帽挂在同一地方，分手时彼此开了个玩笑，都戴着朋友的帽子离开了俱乐部，试问最后这五个朋友戴礼帽的不同情形有多少种？
解分别用a1、a2、a3、a4、a5表示这五个朋友分手时戴的礼帽，用1，2，3，4，5表示他们原来戴的礼帽，那末a1≠1，a2≠2，a3≠3，a4≠4，a5≠5.
首先考虑a1=2，即原来戴1号礼帽的那个人最后戴2号礼帽离开俱乐部、作树形图如图15-5所示：
此时共有11种不同情形，将2换成3，4，5，同样各有11种不同情形，故共有不同情形44种.
加法原理与乘法原理
加法原理和乘法原理是计数中运用十分广泛的两个基本原理.
加法原理做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法.
乘法原理做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有种m1不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…，做第n步mn有种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1·m2·…·mn种不同的方法.
运用两个的理的关键在于分类要恰当，分步要合理，分类必须包括所有情形，又不要交错在一起产生重复，要依据同一标准划分，分步则应使各步首尾相接，环环相扣，随着各步依次完成，保证整个事件得到完成，不得多余、重复，也不得缺少某一必要步骤.
例8如图15-6（此处无图）从甲地到乙到有2条陆路可走，从乙地到丙地有3条陆路可走，又从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走，问从甲地到丙地共有多少种不同走法？
解从甲地到丙地的走法可分为两类：一类是走陆路，一类是走水路，对于后一类，直接从甲地到丙地，有两种不同走法，对于前一类，每一种走法又须分为两步：第一步由甲地到乙地有2种走法，第二步从乙地到丙地有3种走法，根据乘法原理，有2×3=6种走法，再根据加法原理，共有不同走法2+6=8（种）
运用穷举法，一一列举，不难验证以上结论.
例9如图15-7（此处无图），A、B、C、D、E五个区域分别用红、蓝、黄、白、绿五种颜色中的某一种着色，若使相邻的区域着不同的颜色，问有多少不同的着色方式？
解分五步，依A、B、C、D、E着色.
首先考虑给A着色，有5种着色方法；其次考虑给B着色，因不能与A同色，故有4种着色方法：因C不能与A、B、同色，故有3种着色方法；同样D也有3种着色方法；由于E与A、C、D均相邻，故仅有两种着色方法，根据乘法原理，共有不同着色方法
5×4×3×3×2=360（种）
例10今有2枚5分的人民币、3张1角的人民币和9张5角的人民币，问可组成多少种不同的币值？
解这里2枚5分的人民币和3张1角的人民币所起作用相当于8枚5分人民币所起的作用，所以每一种币值都取决于所含5分的枚数和5角的张数.
含5分的枚数是0，1，2，…，7，8九种可能情形，含5角的张数则有0，1，2，…，8，9十种可能情形，除去5分、5角全部不含的一种情形，共可组成不同的币值
（8+1）（9+1）-1=89（种）
例11从1到300的自然数中，完全不含有数字3的有多少个？
解符合要求的自然数可分为三类：
一位数，有1，2，4，5，6，7，8，9共8个.
二位数，在十位上出现的数字有1，2，4…，8，9八种情形，在个位上出现的数字有0，1，2，4…8，9九种情形，因此二位数有8×9=72个.
三位数，在百位上出现的数字有1，2两种情形，在十位、个位上出现的数字有0，1，2，4，5，…8，9九种情形，因此三位数有2×9×9=162个.
综上，从1到300的自然数中完全不含数字3的有
8+72+162=242（个）
例12 （1）如图15-8（a），从A经过P到B沿着最短路线走，有多少条不同的路线？
（2）如图15-8（b），从A到B共有几种不同走法？要求取道须从左至右，由下至上，或由左下至右上.
解（1）如图15-8（a）从A经P到B，要经过C、D，而A→C有两种走法，D→B有4种走法，故从A往P到B有不同走法
2×4=8（种）
（2）①A→C有4种走法，C→B有4种走法，故根据乘法原理，从A经C到B的不同走法有
4×4=16（种）
②分为经过C与不经过C两种情形，如图15-9，取M、N、T三点，那么不经过C的路线只能是经过点M、N、T三点，各有1，1，4种，所以从A到B的不同走法共有
16+6=22（种）
练习十五
如图：△ABC中，由A出发向BC引4条线段，试问共组成多少个不同的三角形？
如图：用两种颜色给四个方格填色，每格一色，共有多少种不同填法？
把六个字母a，a，b，b，c，c排成一行，使同一种字母不相邻，且前三个字母各不相同，试问这样的排法有几种？
某电视机厂用2种不同的显象管，3各不同的外壳，2种不同的天线装配电视机，问一共可装配多少种电视机？
将3封信投到4个邮筒中的某几个邮筒中去，有多少种不同的投入方法？
大小不等的两个正方体玩具，分别在各面上标着数字1，2，3，4，5，6，试问，向上的面标着的数字之和为偶数的情形有多少种？
从3，5，7，11，13，17这六个数中取两上数作成真分数，问这样的真分数有多少个？
如图，若所经路线必须从左至右，由下至上，或由左下至右上进行，问从A经C到B与从A不经C到B各有几种不同的走法？
有一角人民币三张，二角人民币二张，一元人民币四张，可付几种不同款项（不包括都不付？）
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练习十五
顶点A处不同角的个数,就是不同三角形的个数,易知共有5+4+…+1=15个.
设两种颜色为红、蓝,四个格子分别为a、b、c、d.当a格填红色时作树形图如下:
有8种填法.当a填上蓝色,同样也有8种填法,故共有16种不同填法.
若运用乘法原理,立得2×2×2×2=16(种).更为简便.

初二.穷举与计数.doc