第三章：动态规划 3.1 动态规划的基本概念 一、动态决策问题： 决策过程具有阶段性和时序性(与时间有关)的决策问题。即决策过程可划分为明显的阶段。 二、什么叫动态规划 (D.P.– Dynamic Program) ： 多阶段决策问题最优化的一种方法。 广泛应用于工业技术、生产管理、企业管理、经济、军事等领域。 三、动态规划 (D.P.) 的起源：  1951 年 ,( 美)数学家 R.Bellman 等提出最优化原理，从而建立动态规划，名著《动态规划》 于 1957 年出版。 四、动态决策问题分类： 1 、按数据给出的形式分为： 离散型动态决策问题。 连续型动态决策问题。 2 、按决策过程演变的性质分为： 确定型动态决策问题。 随机型动态决策问题。 五、名词术语 D3(S3)={X3(C1),X3(C2),X3(C3)}={D1,D2,D3}=S4 ， D4(S4)={X4(D1),X4(D2),X4(D3)}={E1,E2}=S5  D5(S5)={X5(E1),X5(E2)}={F;F}={F} 。  3.2 最优化原理 一、 R.Bellman 最优化原理： 作为整个过程的最优策略，无任过去的状态和决策如何，对前面的决策形成状态而言， 余下的诸决策必构成最优策略。 即：若M是从A到B最优路线上的任一点，则从M到B的路线也是最优路线。 3.3 DP 建模及求解 一、建模条件： 决策过程本身具有时顺序性或可以转化为具有时顺序性的决策问题，均可建立动态规划数学模型求解。 二、典型动态决策问题建模及其求解 1 、最短路线问题  例：求下列图中A到F的最短路线及最短路线值。 图上计算 例 某公司拟将 60 万元的投资，分配给下属四个工厂扩建用。每个工厂扩建后的利润与投资额的大小有关，投资后的利润函数由表给出。 最优策略为（ 40 ， 20 ）。即对第一个工厂投资 40 万元，对第二个工厂投资 20 万元，此时最大利润为 120 万元。 最优策略为（ 10 ，0）或（0， 10 ），最大利润为 20 万元。 f2(0)=0, 最优策略为（0，0），最大利润为0万元。 于是得表 于是得表 最优策略为（ 20 ，0， 30 ， 10 ）。最大利润为 160 万元。  也就是说，公司在投资分配时，对第一个工厂投资 20 万元，对第二个工厂不投资，对第三个工厂投资 30 万元，对第四个工厂投资 10 万元，此时会得到 160 万元的最大利润。 当 k=2 时，有 当 s2=0 ，1，2，3时， x2 =0 ；当 s2=4 ，5，6，7时，  x2 =0 或1；当 s2=8 ，9， 10 时，， x2 =0 ，1，2。 由此确定 f2(s2) 。现将有关数据列入表3中。  * 解析法  例 机器负荷分配问题． 某种机器可以在高低两种不同的负荷下进行生产，在高负荷下生产时．产品的年产量g和投入生产的机器数量x的关系为g＝ g(x) ，这时，机器的年完好率为a，即如果年初完好机器数为 x, 到年终时完好的机器数就为 ax(0 ＜a＜ 1) ．在低负荷下生产时，产品的年产量h和投入生产的机器数量y的关系为h＝ h(y) ，相应的完好率为， b(0