北九上第一章《证明二》水平测试（A）
一、精心选一选，慧眼识金（每小题3分，共30分）
1．如图1,某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃.那么最省事的办法是带（      ）去配. 
A. ①     B. ②    C. ③     D. ①和②
2．下列说法中，正确的是（       ）.
A．两腰对应相等的两个等腰三角形全等
B．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等
C．两锐角对应相等的两个直角三角形全等
D．面积相等的两个三角形全等
3．如图2，AB⊥CD，△ABD、△BCE都是等腰三角形，如果CD=8cm，BE=3cm，那么AC长为（      ）.
A．4cm           B．5cm         C．8cm        D．cm
4．如图3，在等边中，分别是上的点，且，AD与BE相交于点P，则的度数是（      ）.
A．         B．        C．           D．
5．如图4，在中，AB=AC，，BD和CE分别是和的平分线，且相交于点P. 在图4中，等腰三角形（不再添加线段和字母）的个数为（      ）.
A．9个      B．8个        C．7个          D．6个
6．如图5，表示三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（      ）.
A．1处      B．2处       C．3处        D．4处
7．如图6，A、C、E三点在同一条直线上，△DAC和△EBC都是
等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结
论：① △ACE≌△DCB；② CM＝CN；③ AC＝DN. 其中，正确结论的个数是（      ）.
A．3个      B．2个      C． 1个     D．0个     
8．要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD=BC，再作出BF的垂线DE，使A，C，E 在同一条直线上（如图7），可以证明≌，得ED=AB. 因此，测得DE的长就是AB的长，在这里判定≌的条件是(       ).
A．ASA       B．SAS       C．SSS      D．HL
9．如图8，将长方形ABCD沿对角线BD翻折，点C落在点E的
位置，BE交AD于点F.
求证：重叠部分（即）是等腰三角形.
证明：∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC
又∵与关于BD对称，
∴ . ∴是等腰三角形.
请思考：以上证明过程中，涂黑部分正确的应该依次是以下四项中的哪两项？（     ）.
①；②；③；④
A．①③      B．②③       C．②①        D．③④
10.如图9，已知线段a，h作等腰△ABC，使AB＝AC，且
BC＝a，BC边上的高AD＝h. 张红的作法是：（1）作线段 
BC＝a；（2）作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC相
交于点D；（3）在直线MN上截取线段h；（4）连结AB，
AC，则△ABC为所求的等腰三角形. 
上述作法的四个步骤中，有错误的一步你认为是（      ）.
A. （1）　　　B. （2）　　C. （3）　　D. （4）
二、细心填一填，一锤定音（每小题3分，共30分）
1．如图10，已知，在△ABC和△DCB中，AC=DB，若不增加任何字母与辅助线，要使
△ABC≌△DCB，则还需增加一个条件是____________.
2．如图11，在中，，分别过点作经过点A的直线的垂线段BD，CE，若BD=3厘米，CE=4厘米，则DE的长为_______.
3．如图12，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，则∠ABC等于_________度. 
4．如图13，在等腰中，AB=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若 的周长为50，则底边BC的长为_________.
5．在中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为，则
底角B的大小为________.
6．在《证明二》一章中，我们学习了很多定理，例如：①直角三角形两条直角边的平方和
等于斜边的平方；②全等三角形的对应角相等；③等腰三角形的两个底角相等；④线段
垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；⑤角平分线上的点到这个角两边的
距离相等.在上述定理中，存在逆定理的是________.(填序号)
7．如图14，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=5cm，BC=10cm，将△ABC折叠，点B
与点A重合，折痕为DE，则CD的长为________.
8．如图15，在中，AB=AC，，D是BC上任意一点，分别做DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，如果BC=20cm，那么DE+DF= _______cm.
9．如图16，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=15°，DE是AB的中垂线，垂足为D，交BC
于点，若，则_______ .
10．如图17，有一块边长为24m的长方形绿地，在绿地旁边B处有健身
器材， 由于居住在A处的居民践踏了绿地，小颖想在A处立一个标
牌“少走_____步，踏之何忍？”但小颖不知在“_____”处应填什么
数字，请你帮助她填上好吗？（假设两步为1米）？
三、耐心做一做，马到成功（本大题共48分）
1．（7分）如图18，在中，，CD是AB边上的高， 
. 求证：AB= 4BD.
2．（7分）如图19，在中，，AC=BC，AD平分
交BC于点D，DE⊥AB于点E，若AB=6cm. 你能否求出的
周长？若能，请求出；若不能，请说明理由.
3．（10分）如图20，D、E分别为△ABC的边AB、AC上的点，
BE与CD相交于O点. 现有四个条件：①AB＝AC；②OB＝OC；
③∠ABE＝∠ACD；④BE＝CD.
(1)请你选出两个条件作为题设，余下的两个作为结论，写出一个正确的命题：
命题的条件是      和      ，命题的结论是      和      (均填序号).
(2)证明你写出的命题.
已知：
求证：
证明：
4．（8分）如图21，在中，，AB=AC，的
平分线BD交AC于D，CE⊥BD的延长线于点E.
求证：.
5．（8分）如图22，在中，.
（1）用圆规和直尺在AC上作点P，使点P到A、B的距离相等.
（保留作图痕迹，不写作法和证明）；
（2）当满足（1）的点P到AB、BC的距离相等时，求∠A的度数.
6．（8分）如图23，，OM平分，将直角三角板的顶
点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、OB相交于点C、D，问
PC与PD相等吗？试说明理由.
四、拓广探索（本大题12分）
如图24，在中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，
交BC的延长线于点M，若.
（1）求的度数；
（2）如果将（1）中的度数改为，其余条件不变，再求
的度数；
（3）你发现有什么样的规律性，试证明之；
（4）若将（1）中的改为钝角，你对这个规律性的认识是否需要加以修改？
答案：
一、精心选一选，慧眼识金
1．C；2．B；3．D．点拨：BC=BE=3cm，AB=BD=5cm；4．C．点拨：利用≌；
5．B；6．D．点拨：三角形的内角平分线或外角平分线的交点处均满足条件；7．B．点拨：① ②正确；8．A；9．C；10．C．点拨：在直线MN上截取线段h，带有随意性，与作图语言的准确性不相符.
二、细心填一填，一锤定音
1．答案不惟一.如；2．7厘米. 点拨：利用≌；3．；
4．23．点拨：由，可得；5．或.点拨；当为锐角三角形时，；当为钝角三角形时，；
6．①、③、④、⑤.点拨：三个角对应相等的两个三角形不一定是全等三角形，所以②不存在逆定理；7．. 点拨：设，则易证得.在中，，解得.8．10．点拨：利用含角的直角三角形的性质得，.9．. 点拨：在中，，由AE=BE= 4，则得AC=2；10．16．点拨：AB=26米，AC+BC=34米，故少走8米，即16步.
三、耐心做一做，马到成功
1．∵，，∴AB=2BC，.
又∵CD⊥AB，∴，∴BC=2BD. ∴AB= 2BC= 4BD.
2．根据题意能求出的周长.
∵，，又∵AD平分，∴DE=DC. 
在和中，DE=DC，AD=AD，∴≌（HL）.
∴AC=AE，又∵AC=BC，∴AE=BC.
∴的周长.
∵AB=6cm，∴的周长=6cm.
3．（1）①，③；②，④.
（2）已知：D、E分别为△ABC的边AB、AC上的点，BE与CD相交于O点，且
AB＝AC，∠ABE＝∠ACD.
求证：OB＝OC，BE＝CD.
证明：∵AB=AC，∠ABE＝∠ACD，∠A=∠A，∴△ABE≌△ACD（ASA）.∴BE=CD. 又∵，∴
∴是等腰三角形，∴OB＝OC.
4．延长CE、BA相交于点F.
∵，∴.
在和中，∵，AB=AC，
∴≌（ASA）. ∴.
在和中，∵BE=BE，，
∴≌（ASA）.
∴. ∴.
5．（1）图略. 点拨：作线段AB的垂直平分线.
（2）连结BP. ∵点P到AB、BC的距离相等，
∴BP是的平分线， ∴.
又∵点P在线段AB的垂直平分线上，∴PA=PB，∴.
∴.
6．过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F.
∵OM平分，点P在OM上，∴PE=PF. 又∵，∴.
∴，∴. ∴≌（ASA），∴PC=PD.
四、拓广探索
（北师大版九年级上）数学第一第二章测试题 (4).doc