2011年全国各地100份中考数学试卷分类汇编
第40章  操作探究
一 选择题
1. （2011广东广州市，8，3分）如图1所示，将矩形纸片先沿虚线AB按箭头方向向右对折，接着将对折后的纸片沿虚线CD向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的展开图是（  ）[来源:学科网ZXXK]
A．　　　　　　　　B．              C．　　　　　　　D．
【答案】D
2. （2011安徽芜湖，9,4分）如图，从边长为（a＋4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为cm的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（     ）.
A．     B．      C．      D．
【答案】D
[来源:Zxxk.Com]
二 填空题
三 解答题
1. （2011江西南昌，25，10分）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：
设∠BAC=（0°＜＜90°）.现把小棒依次摆放在两射线AB，AC之间，并使小棒两端分别落在两射线上.
活动一：
如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在两端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒.
数学思考：
（1）小棒能无限摆下去吗？答：          .（填“能”或“不能”）
（2）设AA1=A1A2=A2A3=1.
①=     度；
②若记小棒A2n-1A2n的长度为an（n为正整数，如A1A2=a1,A3A4=a2,）,求此时a2，a3的值，并直接写出an（用含n的式子表示）.
活动二：
如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2= AA1.
数学思考：
（3）若已经向右摆放了3根小棒，则=        ，=         ，=         ；（用含的式子表示）
（4）若只能摆放4根小棒，求的范围.
，AA3=1+.
又∵A2A3⊥A3A4，∴A1A2∥A3A4.同理：A3A4∥A5A6，∴∠A=∠AA2A1=∠AA4A3=∠AA6A5，
∴AA3=A3A4，AA5=A5A6，∴a2= A3A4=AA3=1+,a3=AA3+A3A5=a2+A3A5.∵A3A5=a2,
∴a3=A5A6=AA5=a2+a2=(+1)2.[来源:学*科*网]
方法二：
∵AA1=A1A2=A2A3=1， A1A2⊥A2A3，∴A1A3=，AA3=1+.
又∵A2A3⊥A3A4，∴A1A2∥A3A4.同理：A3A4∥A5A6，∴∠A=∠AA2A1=∠AA4A3=∠AA6A5，
∴a2=A3A4=AA3=1+,又∵∠A2A3A4=∠A4A5A6=90°，∠A2A4A3=∠A4A6A5，∴△A2A3A4∽△A4A5A6，
∴，∴a3==(+1)2.
an=(+1)n-1.
(3)
(4)由题意得，∴15°＜≤18°.
2. （2011福建福州，1，12分）[来源:学科网ZXXK]10-1,连接、.求证四边形为菱形,并求的长；
(2)如图10-2,动点、分别从、两点同时出发,沿和各边匀速运动一周.即点自→→→停止,点自→→→停止.在运动过程中,
①已知点的速度为每秒5,点的速度为每秒4,运动时间为秒,当、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,求的值.
②若点、的运动路程分别为、(单位:,),已知、、、四点为顶点的四边形是平行四边形,求与满足的数量关系式.
【答案】(1)证明:①∵四边形是矩形
∴∥
∴,
∵垂直平分,垂足为
∴
∴≌
∴ 
∴四边形为平行四边形
又∵
∴四边形为菱形
②设菱形的边长,则 
在中,
由勾股定理得,解得
∴
(2)①显然当点在上时,点在上,此时、、、四点不可能构成平行四边形;同理点在上时,点在或上,也不能构成平行四边形.因此只有当点在上、点在上时,才能构成平行四边形
	∴以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,
∵点的速度为每秒5,点的速度为每秒4,运动时间为秒
∴,
∴,解得[来源:学#科#网]
②由题意得,以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,点、在互相平行的对应边上.
分三种情况:
i)如图1,当点在上、点在上时,,即,得
ii)如图2,当点在上、点在上时,, 即,得
iii)如图3,当点在上、点在上时,,即,得
综上所述,与满足的数量关系式是	
3. （2011浙江衢州，23,10分）是一张等腰直角三角形纸板，.
要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法（如图1），比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积更大？请说明理由. 
图1中甲种剪法称为第1次剪取，记所得的正方形面积为；按照甲种剪法，在余下的中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为(如图2)，则       ；再在余下的四个三角形中，用同样的方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形的面积和为(如图3)；继续操作下去…则第10次剪取时，         . 
求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积和.
【答案】(1)解法1：如图甲，由题意得.如图乙，设，则由题意，得
又[来源:学*科*网]
甲种剪法所得的正方形的面积更大
说明：图甲可另解为：由题意得点D、E、F分别为的中点，
解法2：如图甲，由题意得
如图乙，设
甲种剪法所得的正方形的面积更大
(2)[来源:学科网ZXXK]
(3)
(3)解法1：探索规律可知：‘
剩余三角形的面积和为：
解法2：由题意可知，[来源:Zxxk.Com]
第一次剪取后剩余三角形面积和为
第二次剪取后剩余三角形面积和为
第三次剪取后剩余三角形面积和为
…
第十次剪取后剩余三角形面积和为
4. (2011浙江绍兴，23，12分)数学课上，李老师出示了如下框中的题目.
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
（1）特殊情况，探索结论
当点为的中点时，如图1，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：
       （填“ ”,“ ”或“=”）. 
（2）特例启发，解答题目
解：题目中，与的大小关系是：   （填“ ”,“ ”或“=”）.理由如下：如图2，过点作，交于点.
（请你完成以下解答过程）
（3）拓展结论，设计新题
在等边三角形中，点在直线上，点在直线上，且.若的边长为1，，求的长（请你直接写出结果）. 
【答案】（1）= .
（2）=.
方法一：如图，等边三角形中，
是等边三角形，
又
.
方法二：在等边三角形中，
而由是正三角形可得
(3)1或3.[来源:Zxxk.Com]
C
D
B(A)
A
B
A
B
C
D
图1
图10-1
图10-2
备用图
图1
图2
图3
（第23题）
（第23题图1）
第25题图2
第25题图1

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