初中数学竞赛辅导资料(2) 倍数 约数 甲内容提要 1两个整数A和B(B≠0),如果B能整除A(记作B|A),那么A叫做B的倍数,B叫做A的约数。例如3|15,15是3的倍数,3是15的约数。 2因为0除以非0的任何数都得0,所以0被非0整数整除。0是任何非0整数的倍数,非0整数都是0的约数。如0是7的倍数,7是0的约数。 3整数A(A≠0)的倍数有无数多个,并且以互为相反数成对出现,0,±A,±2A,……都是A的倍数,例如5的倍数有±5,±10,……。 4整数A(A≠0)的约数是有限个的,并且也是以互为相反数成对出现的,其中必包括±1和±A。例如6的约数是±1,±2,±3,±6。 5通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数,几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数。 6公约数只有1的两个正整数叫做互质数(例如15与28互质)。 7在有余数的除法中, 被除数=除数×商数+余数 若用字母表示可记作: A=BQ+R,当A,B,Q,R都是整数且B≠0时,A-R能被B整除 例如23=3×7+2 则23-2能被3整除。 乙例题 例1写出下列各正整数的正约数,并统计其个数,从中总结出规律加以 应用:2,22,23,24,3,32,33,34,2×3,22×3,22×32 。 解:列表如下 正整数 正约数 个 数 计 正整数 正约数 个数计 正 整 数 正约数 个数计 2 1,2 2 3 1,3 2 2×3 1,2, 3,6 4 22 1,2,4 3 32 1,3,32 3 22×3 1,2,3, 4,6,12 6 23 1,2, 4,8 4 33 1,3, 32,33 4 22×32 1,2,3, 4,6,9, 12,18,36 9 24 1,2,4, 8,16 5 34 1,3,32, 33,34 5 其规律是:设A=ambn (a,b是质数,m,n是正整数) 那么合数A的正约数的个是(m+1)(n+1) 例如求360的正约数的个数 解:分解质因数:360=23×32×5, 360的正约数的个数是(3+1)×(2+1)×(1+1)=24(个) 例2用分解质因数的方法求24,90最大公约数和最小公倍数 解:∵24=23×3,90=2×32×5 ∴最大公约数是2×3, 记作(24,90)=6 最小公倍数是23×32×5=360, 记作[24,90]=360 例3己知32,44除以正整数N有相同的余数2,求N 解:∵32-2,44-2都能被N整除,∴N是30,42的公约数 ∵(30,42)=6,而6的正约数有1,2,3,6 经检验1和2不合题意,∴N=6,3 例4一个数被10余9,被9除余8,被8除余7,求适合条件的最小正整数 分析:依题意如果所求的数加上1,则能同时被10,9,8整除,所以所求的数是10,9,8的最小公倍数减去1。 解: ∵[10,9,8]=360, ∴所以所求的数是359 丙练习2 12的正约数有_________,16的所有约数是_________________ 分解质因数300=_________,300的正约数的个数是_________ 用分解质因数的方法求20和250的最大公约数与最小公倍数。 一个三位数能被7,9,11整除,这个三位数是_________ 能同时被3,5,11整除的最小四位数是_______最大三位数是________ 己知14和23各除以正整数A有相同的余数2,则A=________ 写出能被2整除,且有约数5,又是3的倍数的所有两位数。答____ 一个长方形的房间长1.35丈,宽1.05丈要用同一规格的正方形瓷砖铺满,问正方形最大边长可以是几寸?若用整数寸作国边长,有哪几种规格的正方形瓷砖适合? 一条长阶梯,如果每步跨2阶,那么最后剩1阶,如果每步跨3阶,那么最后剩2阶,如果每步跨4阶,那么最后剩3阶,如果每步跨5阶,那么最后剩4阶,如果每步跨6阶,那么最后剩5阶,只有每步跨7阶,才能正好走完不剩一阶,这阶梯最少有几阶? ;返回目录 参考答案 2
2.初中数学竞赛辅导资料(2).doc
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