轴对称1练习题     2011-9-10
题1  （第一届“祖冲之杯”初中数学竞赛题）
如图，凸四边形ABCD的对角线AC、BD交于O，且AC⊥BD，已知OA＞OC，OB＞OD.
求证：BC＋AD＞AB＋CD.
∴BC＋AD＞AB＋CD.
题2   (1999年北京市初中竞赛试题)
如图所示, 正方形纸片ABCD中, E为BC中点, 折叠正方形, 使点A与点E重合, 压平后得拆痕MN. 设梯形ADMN的面积为S1, 梯形BCMN的面积为S2, 求的值. 
. 
由勾股定理, 得(1－x)2＝x2＋. 
解得x＝. 又AE＝＝. 
过N作NF⊥DC于F, 在Rt△ABE和Rt△NFM中, 
AB＝NF, ∠1＝∠2(都是∠MNA的余角), 
∴Rt∠ABE≌Rt△NFM. ∴NM＝AE＝.
∴MF＝.
∴MC＝＋, DM＝.∴＝＝. 
题3   等腰三角形ABC中，AB= AC,∠A=100o，BE是∠ABC的平分线，求证：AE+ BE=BC．
证 由已知条件不难算出：∠1=∠2=20o，∠5=60o，∠7=40o
    延长BE到G，使BG=BC，连结CG，不难得到∠G=80o，∠8=40o,∠6=60o。
    在BC上截取BF=BA，连结EF，易证△ABE≌△FBE,从而∠3=∠5=60o，EF=AE．
在△EFC与△EGC中，∠4=180o-（∠5+∠3）=60o=∠6，CE=CE，∠7=∠8，故△EFC≌△EGC，EF=EG，从而EG=AE．
 ∴AE+BE=EG+BE=BG=BC.
证  由已知条件可以算出：∠1=∠2=20o，∠5=60o,∠C=40o，
在BC上截取BG=BE，连结EG，计算后可知∠7 =∠BEG=80o，∠4=∠7-∠C=40o，
于是∠4=∠C，EG=GC．
    又在BC上截取BF=BA，连结EF.显然△ABE≌△FBE，从而∠5=∠3，于是∠3=60o，又AE=EF.
    因∠6=∠3+∠1=60o +20o= 80o =∠7，故EF=EG，从而AE= GC．
    ∴ AE+BE=GC+BG=BC.
[证  在BC上截取BG=BE，连结EG．易求得∠4=40o，∠7=80o，从而∠5=100o=∠A．
    过E作EF∥BC交AB干F，显然△AEF也是等腰三角形，从而AF=AE，于是有FB=EC.又∠3=∠1=∠2，故有 EF=FB.又∠6=∠ABC= 40o=∠4，所以△AEF≌△GEC，故有AE=GC．
    ∴ AE+BE=GC+BG= BC.
[证  延长BE到G，使EG=EA.不难算出∠1=∠2=20o，∠4=60o。，从而∠G=∠5=300o， 
    再过A作AM⊥BC，M为垂足，由等腰三角形性质知M是BC的中点．
   连结GA，过B作BN⊥GA，垂足为N，∠GBN=90o-∠G=60o，∠3= ∠GBN-∠2=60o-20o=40o =∠ABC.又AB是公共边，故有Rt△ABN≌Rt△ABM，从而BN=BM.但BN=BG, BM=BC，BG=BC,即BE+EG=BC，也就是BE+AE=BC.
题4．（2001年广西“创新杯”初中数学竞赛试题）在直角坐标系xOy中，x轴上的动点M（x，0）到定点P（5，5），Q（2，1）的距离分别为MP和MQ，当点M的横坐标的值是多少时，MP＋MQ的值最小？
  解得
所以直线PR的解析式为y＝2x－5。
令y＝0，解出x＝即为所求。
下面证明点M0（，0）使MP＋MQ取最小值。
设PR与x轴的交点为M0（，0），在x轴上任取一点M，因为点Q关于x轴的对称点为R，易知x轴垂直平分QR，于是
M0Q＝M0R，MQ＝MR，
由三角形三边关系，知
MP＋MR≥PR，
而PR＝PM0＋M0R＝M0P＋M0Q，
所以MP＋MQ≥M0P＋M0Q。
即M0（，0）使MP＋MQ取最小值。
题5．如图，平行线a,b是一条灌溉渠道的两岸，A，B是位于渠道两旁的两个村庄，今要在渠上架一座与岸垂直的桥梁，且使得两个村庄到桥头的距离相等，问此桥应该架在何处？
①过A点作a的垂线，并在此垂线上截取AC等于渠道的宽度；②作C关于直线b的对称点C‘，③连结BC‘，作BC‘的垂直平分线，与直线b交于H；④过H作b的垂线，与直线a交于G。
    则GH就是架桥的位置。

2001年秋季初二竞赛班 轴对称1练习题.doc