2007年广州市初中数学青年教师解题比赛
                  决赛试卷           20074－15
本试卷共8页，第1-2页为选择题和填空题，第3-8页为解答题及答卷．请将选择题和填空题的答案做在第3页的答卷上．全卷共三大题25小题，满分150分，考试时间120分钟．
第I卷（选择题，共44分）
一、选择题（本大题共11小题，每小题4分，满分44分，请将唯一正确的答案代号填在第3页的答题卷上．）
1．对于实数，下列运算正确的是（		）．
   （A）        （B）
（C）       （D）
2以下三个：①两个无理数的和一定是无理数；②两个无理数的和有可能是有理数；③两个无理数的和一定是实数．其中正确是（　　）．
（A）①和②		（B）①和③		（C）②和③		（D）③
3．已知等差数列的前项和为，且则的值是                  （      ） ．
（A）8	        （B）11	       （C）12	       （D）15
4．如果为实数，则“”是“直线相切”
的（       ） ．
	（A）充分不必要条件	（B）必要不充分条件
	（C） 充要条件	（D）既不充分又不必要条件
5已知是圆的直径，弦和相交于点, 那么等于（  　）．
（A）　（B）cos　（C）tan  　（D）cot
6如图，三个天平的托盘中相同的物体质量相等．图⑴、⑵所示的两个天平处于平衡状态要使第三个天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置（     ）．
（A）3个球      （B）4个球      （C）5个球     （D）6个球
7．如图是一个正方体的表面展开图，已知正方体的每一个面上都有一个实数，且相对面上的两个数互为倒数，那么代数式的值等于（     ）．
（A）        （B）        （C）         （D）
8．已知集合，，则集合的子集的个数是（    ）．
（A）4　　　　　 （B）8　　　　 　（C）15　　　　 　（D）16
9．如图，所对边分别为，
点的外心，
 则（     ） ．
（A）            （B）  
（C）    （D）
10．设，同一平面直角坐标系内，一次函数与的图象是（    ）．
11．二次函数的图象如图所示，是图象上的一点，且，则的值为（　　）．    （A）        （B）        （C）－1       （D）－2
       第II卷（非选择题，共106分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案直接填在答题卷上．）
12．随机掷一枚均匀的正方体骰子（正方体骰子的六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6），每次实验掷两次，则每次实验中掷两次骰子的点数之和为6的概率是__________． 
13．如果关于的方程有一个小于1的正数根，那么实数的
取值范围是        ． 
14．在矩形中，已知两邻边=12，=5，是边上异于的任意一点，且，分别是垂足，那么___________．
15已知,那么代数式的值是        ．
16．已知为实数，且，则的取值范围为       ．
17．已知正方形ABCD的面积35平方厘米, E、F分别为边AB、BC上的点, AF和CE相交于点G,并且的面积为5平方厘米,的面积为14平方厘米,那么四边形BEGF的面积是___________平方厘米． 
2007年广州市初中数学青年教师解题决赛答题卷
                                                         2007-4-15
一、选择题答案（每小题4分，共44分）
题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11		答案													二、填空题答案（每小题5分，共30分）
12．           13．                    14．               
15．            16．                     17．            
三、解答题（共8小题，满分76分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程．）
18．（本小题8分）已知，，，，试比较A、B、C的大小，并说明理由．
19．（本小题8分）设是奇函数，是偶函数，并且，求和．
20．（本小题10分）已知矩形所在平面，、分别是、的中点．
（1）求证：；
（2）若45°，求证⊥面．
21．（本小题10分）在中， 以为圆心，的长为半径作圆交，若的长均为正整数，求的长．
22．（本小题10分）如图，在等腰直角三角形中，，900，点为腰的中点，点在底边上，且，求的面积．
23．（本小题10分）在正实数范围内，只存在一个数是关于的方程的解，求实数的取值范围．
24．（本小题10分）如图，在梯形中，，对角线相交于点，并把梯形分成四部分，记这四部分的面积分别为．试判断和的大小关系，并证明你的结论．
25．（本小题10分）已知,若为整数，在使得为完全平方数的所有的值中，设的最大值为，最小值为，次小值为．（注：一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数．）
（1）求的值；
（2）对进行如下操作：任取两个求其和再除以，同时求其差再除以，剩下的另一个数不变，这样就仍得到三个数．再对所得三个数进行如上操作，问能否经过若干次上述操作，？证明你的结论．
an｝等差数列，∴2(S8 －S4)= S4＋(S12－S8)，且S4=3，S8=7，则S12=12.
4．选A  [解析]： 若a=b，则直线与圆心的距离为等于半径，
∴相切．若相切，则，∴．故“a=b”是“直线相切”的充分不必要条件.
8．选C  [解析]：如果中至少有1个为零，则；如果，则；如果，则；如果，则，于是＝{0，4，6，9}，∴有＝16个子集.解：由方程组的解知两直线的交点为，而图A中交点横坐标是负数，故图A不对；图C中交点横坐标是2≠1，故图C不对；图D中交点纵坐标是大于，小于的数，不等于，故图D不对；故选B
11．选B  [解：由且，得.
二、填空题答案（每小题5分，共6小题，共30分）
12．.
13. .  因式分解得，因此“小于1的正数根”是.
   由得. 
14.. 如图，过A作AG⊥BD于G．因为等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高，所以PE＋PF=AG．因为AD=12，AB=5，所以BD=13，所
以所以.
15. 2. .
16.  . ，得，
因为为实数，所以，解得.
17． .∵，同理,如图，连BG. 
记，，，.
由已知  ，，解之得，.  
∴.
三、解答题答案（共8小题，满分76分.解答应写出必要文字说明、演算步骤和证明过程）
18．解：它们的大小关系为.                           ………………………2分
由得，得，…………4分
，得， ………………6分
即得.                                                   ………………8分
19．解：为奇函数   
     为偶函数              …………………2分
由…………………4分
从而  …………………6分
           …………………8分
20．证明：
 21．设BD＝，CD＝，（，为正整数）
作AE⊥BD，垂足为E，则AB＝AD＝40，BE＝DE＝．
∵ ，，
∴ ，
∴ ，        …………………6分
∵ 20＜＜100，
∴ 只有或………………9分
故BC的长为50或80．               …………………10分
22．解法1：如图，过C作CD⊥CE与EF的延长线交于D．   …… ……2分
因为∠ABE＋∠AEB=90°，∠CED＋∠AEB=90°，所以∠ABE=∠CED．
于是Rt△ABE∽Rt△CED，                        …………………4分
所以．          ………………6分    
又∠ECF=∠DCF=45°，所以CF是∠DCE的平分线，点F到CE和CD的距离相等，
所以．                              ……………8分
所以．………10分
解法2： 如图，作FH⊥CE于H，设FH=h．        ………………2分
因为∠ABE＋∠AEB＝90°，∠FEH+∠AEB=90°，所以 ∠ABE=∠FEH，
于是Rt△EHF∽Rt△BAE．                        ………………4分
因为 所以．
又因为所以       …………………8分
所以．       ………………10分
23．解：
2007年广州市初中数学青年教师解题比赛试题-新人教.doc