2007年全国各地中考试题压轴题精选全解之一
1（北京市）25．我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．
（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；
（2）如图，在中，点分别在上，
设相交于点，若，．
请你写出图中一个与相等的角，并猜想图中哪个四边形
是等对边四边形；
（3）在中，如果是不等于的锐角，点分别在上，且．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论．
解：（1）回答正确的给1分（如平行四边形、等腰梯形等）．
（2）答：与相等的角是（或）．
四边形是等对边四边形．
（3）答：此时存在等对边四边形，是四边形．
证法一：如图1，作于点，作交延长线于点．
因为，为公共边，
所以．
所以．
因为，
，
所以．
可证．
所以．
所以四边形是等边四边形．
证法二：如图2，以为顶点作，交于点．
因为，为公共边，
所以．
所以，．
所以．
因为，
，
所以．
所以．
所以．
所以．
所以四边形是等边四边形．
说明：当时，仍成立．只有此证法，只给1分．
2（上海市）25.已知：，点在射线上，（如图10）．为直线上一动点，以为边作等边三角形（点按顺时针排列），是的外心．
（1）当点在射线上运动时，求证：点在的平分线上；
（2）当点在射线上运动（点与点不重合）时，与交于点，设，，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）若点在射线上，，圆为的内切圆．当的边或与圆相切时，请直接写出点与点的距离．
（1）证明：如图4，连结，
是等边三角形的外心，，圆心角．
当不垂直于时，作，，垂足分别为．
由，且，
，．
．．．点在的平分线上．当时，．
即，点在的平分线上．
综上所述，当点在射线上运动时，点在的平分线上．
（2）解：如图5，
平分，且，
．由（1）知，，，
，．
，．．
．．．定义域为：．（3）解：①如图6，当与圆相切时，；②如图7，当相切时，；
③如图8，与圆相切时，．
3（天津市）26. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，且满足，。
（1）试证明；
（2）证明；
（3）对于二次函数，若自变量取值为，其对应的函数值为，则当时，试比较与的大小。
解：（1）将已知的一元二次方程化为一般形式
即
∵ 是该方程的两个实数根
∴ ，
而  ∴ 
（2）
∵     ∴ 
于是，即
∴ 
（3）当时，有
∵ ，
∵      ∴ 
又∵     ∴ ，
∵    ∴ 
于是   ∵    ∴ 
由于，
∴ ，即
∴ 当时，有
4(重庆市) 28．已知，在Rt△OAB中，∠OAB＝900，∠BOA＝300，AB＝2。若以O为坐标原点，OA所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内。将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处。
（1）求点C的坐标；
（2）若抛物线（≠0）经过C、A两点，求此抛物线的解析式；
（3）若抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一点，过P作轴的平行线，交抛物线于点M。问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由。
注：抛物线（≠0）的顶点坐标为，对称轴公式为
解: （1）过点C作CH⊥轴，垂足为H
        ∵在Rt△OAB中，∠OAB＝900，∠BOA＝300，AB＝2
        ∴OB＝4
        由折叠知，∠COB＝300，
        ∴∠COH＝00，，CH＝∴C点坐标为（，3）
          （2）∵抛物线（≠0）经过C（，3）、A（，0）两点
               ∴      解得：
                ∴此抛物线的解析式为：
           （3）存在。因为的顶点坐标为（，3）即为点C
                MP⊥轴，垂足为，因为∠BOA＝300，所以ON＝
                ∴P（，）
                作PQ⊥CD，垂足为⊥CD，垂足为代入得：
                ∴ M（，），E（，）
                同理：Q（，），D（，1）
                要使四边形CDPM为等腰梯形，只需CE＝QD
                即，解得：，（舍）
                ∴ P点坐标为（，）
                ∴ 存在满足条件的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形，此时P点的坐为（，）
5(河北省)26. 如图16，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=50，AD=75，BC=135．点P从点B出发沿折线段BA-AD-DC以每秒5个单位长的速度向点C匀速运动；点Q从点C出发沿线段CB方向以每秒3个单位长的速度匀速运动，过点Q向上作射线QK⊥BC，交折线段CD-DA-AB于点E．点P、Q同时开始运动，当点P与点C重合时停止运动，点Q也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）当点P到达终点C时，求t的值，并指出此时BQ的长；
（2）当点P运动到AD上时，t为何值能使PQ∥DC?？
（3）设射线QK扫过梯形ABCD的面积为S，分别求出点E运动到CD、DA上时，S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）
（4）△PQE能否成为直角三角形？若能，写出t的取值范围；若不能，请说明理由．
解：（1）t?=（50＋75＋50）÷5=35（秒）时，点P到达终点C．	
此时，QC=35×3=105，∴BQ的长为135－105=30．	
（2）如图8，若PQ∥DC，又AD∥BC，则四边形PQCD
为平行四边形，从而PD=QC，由QC=3t，BA+AP=5t
得50＋75－5t=3t，解得t=．
经检验，当t=时，有PQ∥DC．
（3）①当点E在CD上运动时，如图9．分别过点A、D
作AF⊥BC于点F，DH⊥BC于点H，则四边形
ADHF为矩形，且△ABF≌△DCH，从而
FH= AD=75，于是BF=CH=30．∴DH=AF=40．
又QC=3t，从而QE=QC·tanC=3t·=4t．
（注：用相似三角形求解亦可）
∴S=S⊿QCE?=QE·QC=6t2；	
②当点E在DA上运动时，如图8．过点D作DH⊥BC于点H，由①知DH=40，CH=30，又QC=3t，从而ED=QH=QC－CH=3t－30．
∴S= S梯形QCDE?=(ED＋QC)DH =120 t－600．	
（4）△PQE能成为直角三角形．	
当△PQE为直角三角形时，t的取值范围是0＜t≤25且t≠或t=35．	
（注：（4）问中没有答出t≠或t=35者各扣1分，其余写法酌情给分）
下面是第（4）问的解法，仅供教师参考：
①当点P在BA（包括点A）上，即0＜t≤10时，如图9．过点P作PG⊥BC于点G ，则PG=PB·sinB=4t，又有QE=4t?= PG，易得四边形PGQE为矩形，此时△PQE总能成为直角三角形．
②当点P、E都在AD（不包括点A但包括点D）上，即10＜t≤25时，如图8．
由QK⊥BC和AD∥BC可知，此时，△PQE为直角三角形，但点P、E不能重合，即
5t－50＋3t－30≠75，解得t≠．
③当点P在DC上（不包括点D但包括点C），
即25＜t≤35时，如图10．由ED＞25×3－30=45，
可知，点P在以QE=40为直径的圆的外部，故
∠EPQ不会是直角．
由∠PEQ＜∠DEQ，可知∠PEQ一定是锐角．
对于∠PQE，∠PQE≤∠CQE，只有当点P与C
重合，即t=35时，如图11，∠PQE=90°，△PQE
为直角三角形．
综上所述，当△PQE为直角三角形时，t的取值范围是0＜t≤25且t≠或t=35．
6(河北省郴州市) 27．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，将矩形ABCD沿对角线AC平移，平移后的矩形为EFGH（A、E、C、G始终在同一条直线上），当点E与C重合时停止移动．平移中EF与BC交于点N，GH与BC的延长线交于点M，EH与DC交于点P，FG与DC的延长线交于点Q．设S表示矩形PCMH的面积，表示矩形NFQC的面积．
（1） S与相等吗？请说明理由．
（2）设AE＝x，写出S和x之间的函数关系式，并求出x取何值时S有最大值，最大值是多少？
（3）如图11，连结BE，当AE为何值时，是等腰三角形． 
解: （1）相等                                              理由是：因为四边形ABCD、EFGH是矩形，
所以
所以   即：    （2）AB＝3，BC＝4，AC＝5，设AE＝x，则EC＝5－x，
所以，即       配方得：，所以当时，                S有最大值3                                                （3）当AE＝AB＝3或AE＝BE＝或AE＝3.6时，是等腰三角形的二次函数以轴为对称轴，且与轴的交点在轴上方．
（1）求此抛物线的解析式，并在下面的直角坐标系中画出函数的草图；
（2）设是轴右侧抛物线上的一个动点，过点作垂直于轴于点，再过点作轴的平行线交
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