2007年全国各地中考试题压轴题精选全解之五
82.（四川省德阳市）25.如图，已知与轴交于点和的抛物线的顶点为，抛物线与关于轴对称，顶点为．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）已知原点，定点，上的点与上的点始终关于轴对称，则当点运动到何处时，以点为顶点的四边形是平行四边形？
（3）在上是否存在点，使是以为斜边且一个角为的直角三角形？若存，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
解：（1）由题意知点的坐标为．
设的函数关系式为．
又点在抛物线上，
，解得．
抛物线的函数关系式为（或）．
（2）与始终关于轴对称，
 与轴平行．
设点的横坐标为，则其纵坐标为，
，，即．
当时，解得．
当时，解得．
当点运动到或或或时，
，以点为顶点的四边形是平行四边形．
（3）满足条件的点不存在．理由如下：若存在满足条件的点在上，则
，（或），
．
过点作于点，可得．
，，．
点的坐标为．
但是，当时，．
不存在这样的点构成满足条件的直角三角形．
83.（绵阳市）25.如图，已知抛物线y = ax2 + bx－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为．设⊙M与y轴交于D，抛物线的顶点为E．
（1）求m的值及抛物线的解析式；
（2）设∠DBC = (，∠CBE = (，求sin（(－(）的值；
（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）（0，－3），
∴ 抛物线的解析式为y = ax2－2ax－3（a＞0），
∴ CN = 2，于是m =－1．
同理可求得B（3，02－2－（－1，0（1，－4D（0，1，，
∴ ，，∴ ，即 ，
∴ Rt△BOD∽Rt△BCE，得 ∠CBE =∠OBD =(，
因此 sin（(－(）= sin（∠DBC－∠OBD）= sin∠OBC =．
（3）显然 Rt△COA∽Rt△BCE，此时点P1（0，0）．
过A作AP2⊥AC交y正半轴于P2，由Rt△CAP2 ∽Rt△BCE，得．
过C作CP3⊥AC交x正半轴于P3，由Rt△P3CA∽Rt△BCE，得P3（9，0）．
故在坐标轴上存在三个点P1（0，0），P2（0，1∕3），P3（9，0），使得以P、A、C为顶点的三角形与BCE相似．
84.（南充市）25.如图，点M（4，0），以点M为圆心、2为半径的圆与x轴交于点A、B．已知抛物线过点A和B，与y轴交于点C．（1）求点C的坐标，并画出抛物线的大致图象．（2）上，点P为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ＋PB的最小值．（3）CE是过点C的⊙M的切线，点E是切点，求OE所在直线的解析式．           
解：（1）由已知，得　A（2，0），B（6，0），∵抛物线过点A和B，则解得	则抛物线的解析式为． 故C（0，2）．（说明：抛物线的大致图象要过点A、B、C，其…（3分）（2）如图①，抛物线对称轴l是x＝4．∵Q（8，m）抛物线上，∴m＝2．过点Q作QK⊥x轴于点K，则K（8，0），QK＝2，AK＝6，∴AQ＝．
又∵B（6，0）与A（2，0）关于对称轴l对称，∴PQ＋PB的最小值＝AQ＝．　　（3）如图②，连结EM和CM．由已知，得EM＝OC＝2．CE是⊙M的切线，∴∠DEM＝90o，则∠DEM＝∠DOC．又∵∠ODC＝∠EDM．故△DEM≌△DOC．∴OD＝DE，CD＝MD．又在△ODE和△MDC中，∠ODE＝∠MDC，∠DOE＝∠DEO＝∠DCM＝∠DMC．设CM所在直线的解析式为y＝kx＋b，CM过点C（0，2），M（4，0），∴解得直线CM的解析式为．又∵直线OE过原点O，且OE∥CM，则OE的解析式为y＝x．
85.（内江市）25.如图（13），已知平行四边形的顶点的坐标是，平行于轴，三点在抛物线上，交轴于点，一条直线与交于点，与交于点，如果点的横坐标为，四边形的面积为．
（1）求出两点的坐标；
（2）求的值；
（3）作的内切圆，切点分别为，求的值．
解：（1）∵点A的坐标为（0，16），且AB∥x轴
∴B点纵坐标为4，且B点在抛物线上
∴点B的坐标为（10，16）
又∵点D、C在抛物线上，且CD∥x轴
∴D、C两点关于y轴对称
∴DN＝CN＝5.
∴D点的坐标为（－5,4）
（2）设E点的坐标为（a，16），则直线OE的解析式为：
∴F点的坐标为（）
由AE＝a，DF＝且，得
解得a＝5
（3）连结PH，PM，PK
∵⊙P是△AND的内切圆，H，M，K为切点
∴PH⊥AD，PM⊥DN，PK⊥AN
在Rt△AND中，由DN＝5，AN＝12，得AD＝13
设⊙P的半径为r，则，r＝2
在正方形PMNK中，PM＝MN＝2
∴
在Rt△PMF中，tan∠PMF＝
86.（资阳市）25.如图10，已知 与x轴交于A、B两点(点A在x轴的正半轴上)，与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，
x	…	-3	-2	1	2	…		y	…	-	-4	-	0	…		(1) 求A、B、C三点的坐标；
(2) 若点D的坐标为(m，0)，矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围；
(3) 当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接DF并延长至点M，使FM=DF，.
 解：解法一：设，任取代入，求出解析式，令y=0，求出令=0，A、B、C三点的坐标A(2，0)，B(-4，0)，C(0，-4) 	
解法二：由过(1，-)，(-3，)可知，对称轴方程为x=-1，又∵过(2，0)(-2，-4)，则A、B、C A(2，0)，B(-4，0)，C(0，-4) .，而AO=2，OC=4，AD=2-m，DG=4-2m，	又 得4-2m，=3m，
∴SDEFG=DG·DE=(4-2m) 3m=12m-6m2 (0＜m＜2) .Rt△BOC及Rt△AOC，或依据△BOC是等腰直角三角形建立关系求解.
(3)∵SDEFG=12m-6m2 (0＜m＜2)，m=1时，矩形的面积最大是6矩形面积最大时，D(1，0)，G(1，-2)，F(-2，-2)，E(-2，0)，
设DF的解析式为y=kx+b，k=，b=-，∴，又可求解析式为：，=，求出，过作x轴的垂线交x轴于H，有==，M不与N重合时，k≠且k＞0.
若选择另一问题：
∵，而AD=1，AO=2，OC=4，则DG=2，又∵， 而AB=6，CP=2，OC=4，则FG=3，
∴SDEFG=DG·FG=6. 
∴
∴
∴
由勾股定理的逆定理得：
为直角三角形         
（2）解：①如图所示；
∵
∴   即  
又  ∴     
∴，是方程x2－2ax＋b2＝0的两根
∴
∴
由（1）知：在中，∠A＝90°
由勾股定理得
∴
②能
由（1）知  
∴顶点
过D作DE⊥x轴于点    则NE＝EM   DN＝DM
要使为等腰直角三角形，只须ED＝MN＝EM
∵ 
∴   
∴   又c＞0，∴c＝1
由于c＝a   b＝a   ∴a＝  b＝
∴当a＝，b＝，c＝1时，为等腰直角三角形。
88.（成都市）28.在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，其顶点的横坐标为1，且过点和．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）若直线与线段交于点（不与点重合），则是否存在这样的直线，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角与的大小（不必证明），并写出此时点的横坐标的取值范围．
解：（1）二次函数图象顶点的横坐标为1，且过点和，
由	解得
此二次函数的表达式为	．
（2）假设存在直线与线段交于点
（不与点重合），使得以为顶点的三角形
与相似．
在中，令，则由，
解得
．
令，得．．
设过点的直线交于点，过点作轴于点．
点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．
．
要使或，
已有，则只需，		①
或			②
成立．
若是①，则有．
而．
在中，由勾股定理，得．
解得	（负值舍去）．
．
点的坐标为．
将点的坐标代入中，求得．
满足条件的直线的函数表达式为．
［或求出直线的函数表达式为，则与直线平行的直线的函数表达式为．此时易知，再求出直线的函数表达式为．联立求得点的坐标为．］
若是②，则有．
而．
在中，由勾股定理，得．
解得	（负值舍去）．
．
点的坐标为．
将点的坐标代入中，求得．
满足条件的直线的函数表达式为．
存在直线或与线段交于点（不与点重合），使得以为顶点的三角形与相似，且点的坐标分别为或．
（3）设过点的直线与该二次函数的图象交于点．
将点的坐标代入中，求得．
此直线的函数表达式为．
设点的坐标为，并代入，
得．
解得（不合题意，舍去）．
．
点的坐标为．
此时，锐角．
又二次函数的对称轴为，
点关于对称轴对称的点的坐标为．
当时，锐角；
当时，锐角；
当时，锐角．
89.（乐山市
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