2008年全国中考数学压轴题精选（一）
1（08福建莆田26题）（14分）如图：抛物线经过A（-3，0）、B（0，4）、C（4，0）三点.
  （1） 求抛物线的解析式.
  （2）已知AD = AB（D在线段AC上），有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t 秒的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值；
 （3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ+MC的值最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
（注：抛物线的对称轴为）
（08福建莆田26题解析）（1）解法一：设抛物线的解析式为y = a (x +3 )(x - 4)
     因为B（0，4）在抛物线上，所以4 = a ( 0 + 3 ) ( 0 - 4 )解得a= -1/3
     所以抛物线解析式为
解法二：设抛物线的解析式为，
依题意得：c=4且  解得
 所以  所求的抛物线的解析式为
（2）连接DQ，在Rt△AOB中，
所以AD=AB= 5，AC=AD+CD=3 + 4 = 7，CD = AC - AD =?7 – 5 = 2
因为BD垂直平分PQ，所以PD=QD，PQ⊥BD，所以∠PDB=∠QDB
因为AD=AB，所以∠ABD=∠ADB，∠ABD=∠QDB，所以DQ∥AB
所以∠CQD=∠CBA。∠CDQ=∠CAB，所以△CDQ∽ △CAB
  即
所以AP=AD – DP = AD – DQ=5 –= ，    
所以t的值是
（3）答对称轴上存在一点M，使MQ+MC的值最小
理由：因为抛物线的对称轴为
所以A（- 3，0），C（4，0）两点关于直线对称
连接AQ交直线于点M，则MQ+MC的值最小
过点Q作QE⊥x轴，于E，所以∠QED=∠BOA=900
    DQ∥AB，∠ BAO=∠QDE，  △DQE ∽△ABO
  即 
所以QE=，DE=，所以OE = OD + DE=2+=，所以Q（，）
设直线AQ的解析式为
则  由此得 
所以直线AQ的解析式为  联立
由此得  所以M
则：在对称轴上存在点M，使MQ+MC的值最小。
2（08甘肃白银等9市28题）（12分）如图20，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4，3）．平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N，直线m运动的时间为t（秒）．
(1) 点A的坐标是__________，点C的坐标是__________；
 (2) 当t=       秒或      秒时，MN=AC；
(3) 设△OMN的面积为S，求S与t的函数关系式；
(4) 探求(3)中得到的函数S有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，要说明理由．
本小题满分12分
解：(1)（4，0），（0，3）；  2分
(2) 2，6；   4分
(3) 当0＜t≤4时，OM=t．
由△OMN∽△OAC，得，
∴ ON=，S=．   6分
当4＜t＜8时，
如图，∵ OD=t，∴ AD= t-4． 
方法一：
由△DAM∽△AOC，可得AM=，∴ BM=6-．  7分
由△BMN∽△BAC，可得BN==8-t，∴ CN=t-4．  8分
S=矩形OABC的面积-Rt△OAM的面积- Rt△MBN的面积- Rt△NCO的面积
=12--（8-t）（6-）-
=．  0分
方法二：
易知四边形ADNC是平行四边形，∴ CN=AD=t-4，BN=8-t．7分
由△BMN∽△BAC，可得BM==6-，∴ AM=．8分
以下同方法一．
 (4) 有最大值．
方法一：
当0＜t≤4时，
∵ 抛物线S=的开口向上，在对称轴t=0的右边， S随t的增大而增大，
∴ 当t=4时，S可取到最大值=6； 11分
当4＜t＜8时，
∵ 抛物线S=的开口向下，它的顶点是（4，6），∴ S＜6． 
综上，当t=4时，S有最大值6．  12分
方法二：
∵ S= 
∴ 当0＜t＜8时，画出S与t的函数关系图像，如图所示．  11分
显然，当t=4时，S有最大值6．    12分
说明：只有当第（3）问解答正确时，第（4）问只回答“有最大值”无其它步骤，可给1分；否则，不给分．
，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值
（08广东广州25题解析）（1）t＝4时,Q与B重合，P与D重合，
重合部分是＝
4（08广东深圳22题）如图9，在平面直角坐标系中，二次函数的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点 A点在的左侧，B点的坐标为（3，0OB＝OC ，tan∠ACO＝．．过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在抛物线上是否存在这样的点F，使以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形若存在，请求出点F的坐．于x轴的直线与抛物线交于、两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求．（4）如图10，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P抛物线上，APG的面积最大APG的最大面积            …………………………2分
解得：                                        …………………………3分
所以这个二次函数的表达式为：           …………………………3分
方法二：由已知得：C（0，－3），A（－1，0）           …………………………1分
设该表达式为：                      …………………………2分
将C点的坐标代入得：                            …………………………3分
所以这个二次函数的表达式为：           …………………………3分
（注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分）
（2）方法一：存在，F点的坐标为（2，－3） 
∴E点的坐标为（－3，0）                              …………………………4分
由A、C、E、F四点的坐标得：AE＝CF＝2，AE∥CF
∴以A、C、E、F为顶点的四在点F，坐标为（2，－3） 
∴E点的坐标为（－3，0）                              …………………………4分A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形
∴F点的坐标为（2，－3）或（―2，―3）或（－4，3）   
代入抛物线的表达式检验，只有（2，－3）符合
点F，坐标为（2，－3）  线MN在x轴上径为R（R 0），则N（R+1，R）代入抛物线的表达式，解得  …………6分
②当直线MN在x轴径为r（r 0），则N（r+1，－r）   ………7分
∴圆的半径为或．   ……………7分
（4）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，
易得G（2，－3），直线AG为．……………8分
设P（x，），则Q（x，－x－1），PQ．
               …………………………9分
当时，△APG的面积最大
此时P点的，．      …………………………10分
5（08湖北恩施24题）(本大题满分12分) 如图11，在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若?ABC固定不动，?AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合,点E不与点C重合),设BE=m，CD=n.
（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明.
（2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围.
   （3）以?ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图12).在边BC上找一点D，使BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算验证BD＋CE=DE.
   （4）在旋转过程中,(3)中的等量关系BD＋CE=DE是否始终成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由.
（08湖北恩施24题解析） (本大题满分12分)
解:(1)?ABE∽?DAE,  ?ABE∽?DCA                                   1分
    ∵∠BAE=∠BAD+45°,∠CDA=∠BAD+45°
    ∴∠BAE=∠CDA
    又∠B=∠C=45°
    ∴?ABE∽?DCA                                                   3分
    (2)∵?ABE∽?DCA
    ∴
    由依题意可知CA=BA=
    ∴
    ∴m=                                                         5分
    自变量n的取值范围为1 n 2.                                    6分
    (3)由BD=CE可得BE=CD,即m=n
     ∵m=
∴m=n=
∵OB=OC=BC=1
∴OE=OD=－1
∴D(1－, 0)                                              7分

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