2008年中考数学分类汇编 压轴题(12)
1、(2008黑龙江、鸡西、佳木斯、齐齐哈尔)如图，在平面直角坐标系中，点，点分别在轴，轴的正半轴上，且满足．
（1）求点，点的坐标．
（2）若点从点出发，以每秒1个单位的速度沿射线运动，连结．设的面积为，点的运动时间为秒，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
（3）在（2）的条件下，是否存在点，使以点为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案：解：（1）
，
，
点，点分别在轴，轴的正半轴上
（2）求得
（每个解析式各1分，两个取值范围共1分）
（3）；；；
2、(2008  湖北  天门)如图①，在平面直角坐标系中，A点坐标为(3，0)，B点坐标为(0，4)．动点M从点O出发，沿OA方向以每秒1个单位长度的速度向终点A运动；同时，动点N从点A出发沿AB方向以每秒个单位长度的速度向终点B运动．设运动了x秒．
(1)点N的坐标为(________________，________________)；(用含x的代数式表示)
(2)当x为何值时，△AMN为等腰三角形？
(3)如图②，连结ON得△OMN，△OMN可能为正三角形吗？若不能，点M的运动速度不变，试改变点N的运动速度，使△OMN为正三角形，并求出点N的运动速度和此时x的值．
答案：解：(1)N()
(2)①AM=AN
,,,
②MN=AM
(舍去)或
③MN=AN
,
(3)不能
当N()时，△OMN为正三角形
由题意可得：,解得：
点N的速度为：
3、(2008江苏常州)如图,抛物线与x轴分别相交于点B、O,它的顶点为A,连接AB,把AB所的直线沿y轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l,设P是直线l上一动点.
（1）求点A的坐标;
（2）以点A、B、O、P为顶点的四边形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P的坐标;
（3）设以点A、B、O、P为顶点的四边形的面积为S,点P的横坐标为x,当时,求x的取值范围. 
答案：解：（1）∵
∴A(-2,-4)
（2）四边形ABP1O为菱形时，P1(-2,4)
四边形ABOP2为等腰梯形时，P1()
四边形ABP3O为直角梯形时，P1()
四边形ABOP4为直角梯形时，P1()
（3）
由已知条件可求得AB所在直线的函数关系式是y=-2x-8,所以直线的函数关系式是y=-2x
①当点P在第二象限时，x 0,
△POB的面积
∵△AOB的面积，
∴
∵，
∴
即    ∴
∴x的取值范围是
②当点P在第四象限是，x 0,
过点A、P分别作x轴的垂线，垂足为A′、P′
则四边形POA′A的面积
∵△AA′B的面积
∴
∵，
∴    即    ∴
∴x的取值范围是
4、（2008广西南宁）随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润与投资量成正比例关系，如图①所示；种植花卉的利润与投资量成二次函数关系，如图②所示（注：利润与投资量的单位：万元）
（1）分别求出利润与关于投资量的函数关系式；
（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？
（注意：在试题卷上作答无效）
答案：解：（1）设=,由图①所示，函数=的图像过（1，2），所以2=，
故利润关于投资量的函数关系式是=；
因为该抛物线的顶点是原点，所以设=，由图12-②所示，函数=的图像过（2，2），
所以，
故利润关于投资量的函数关系式是；
（2）设这位专业户投入种植花卉万元（），
则投入种植树木（）万元，他获得的利润是万元，根据题意，得
=+==
当时，的最小值是14；
因为，所以
所以
所以
所以，即，此时
当时，的最大值是32.
5、（2008安徽芜湖）如图，已知 ，，现以A点为位似中心，相似比为9:4，将OB向右侧放大，B点的对应点为C．
（1）求C点坐标及直线BC的解析式;
（2）一抛物线经过B、C两点，且顶点落在x轴正半轴上，求该抛物线的解析式并画出函数图象;
（3）现将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一点P，请找出抛物线上所有满足到直线AB距离为的点P．
答案：解:
（1）过C点向x轴作垂线，垂足为D，由位似图形性质可知：
△ABO∽△ACD， ∴．
由已知，可知： ．
∴．∴C点坐标为． 直线BC的解析是为： 
化简得： 
（2）设抛物线解析式为，由题意得： ，   
解得： 
∴解得抛物线解析式为或．
又∵的顶点在x轴负半轴上，不合题意，故舍去．
∴满足条件的抛物线解析式为
（准确画出函数图象）
（3） 将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一点P，设P到 直线AB的距离为h，
故P点应在与直线AB平行，且相距的上下两条平行直线和上．
由平行线的性质可得：两条平行直线与y轴的交点到直线BC的距离也为．
如图，设与y轴交于E点，过E作EF⊥BC于F点，
在Rt△BEF中，，
∴．∴可以求得直线与y轴交点坐标为同理可求得直线与y轴交点坐标为
∴两直线解析式；．
根据题意列出方程组： ⑴；⑵
∴解得：；；；
∴满足条件的点P有四个，它们分别是，，，交轴于A、B两点，交轴于M点.抛物线向右平移2个单位后得到抛物线，交轴于C、D两点.
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）抛物线或在轴上方的部分是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形.若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P是抛物线上的一个动点（P不与点A、B重合），那么点P关于原点的对称点Q是否在抛物线上，请说明理由.
答案：
7、（2008浙江台州）如图，在矩形中，，，点是边上的动点（点不与点，点重合），过点作直线，交边于点，再把沿着动直线对折，点的对应点是点，设的长度为，与矩形重叠部分的面积为．
（1）求的度数；
（2）当取何值时，点落在矩形的边上？
（3）①求与之间的函数关系式；
②当取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的？
答案：解：（1）如图，四边形是矩形，．
又，，，
，．
，．
，．
（2）如图1，由轴对称的性质可知，，
，．
由（1）知，，
，．
，，．
在中，根据题意得：，
解这个方程得：．
（3）①当点在矩形的内部或边上时，
，，
，当时，
当在矩形的外部时（如图2），，
在中，，
，
又，，
在中，
，．
，
，
当时，．
综上所述，与之间的函数解析式是：．
②矩形面积，当时，函数随自变量的增大而增大，所以的最大值是，而矩形面积的的值，
而，所以，当时，的值不可能是矩形面积的；
当时，根据题意，得：
，解这个方程，得，因为，
所以不合题意，舍去．
所以．
综上所述，当时，与矩形重叠部分的面积等于矩形面积的．
8、（2008四川自贡）抛物线的顶点为M，与轴的交点为A、B（点
B在点A的右侧），△ABM的三个内角∠M、∠A、∠B所对的边分别为m、a、b.若关
于的一元二次方程有两个相等的实数根.
（1）判断△ABM的形状，并说明理由.
（2）当顶点M的坐标为（－2，－1）时，求抛物线的解析式，并画出该抛物线的大致图形.
（3）若平行于轴的直线与抛物线交于C、D两点，以CD为直径的圆恰好与轴相切，求该圆的圆心坐标.
答案：解：（1）令，得
由勾股定理的逆定理和抛物线的对称性知△ABM是一个以、为直角边的等腰直角三角形
（2）设
∵△ABM是等腰直角三角形
∴斜边上的中线等于斜边的一半
又顶点M(－2，－1)
∴，即AB＝2
∴A(－3，0)，B(－1，0)
将B(－1，0) 代入中得
∴抛物线的解析式为，即
图略
（3）设平行于轴的直线为
解方程组
得，  （
∴线段CD的长为
∵以CD为直径的圆与轴相切
据题意得
∴
解得 
∴圆心坐标为和
9、（2008海南）如图，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A,它的对称轴x=2 与x轴交于点C，直线y=-2x-1经过抛物线上一点B(-2,m)，且与y轴、直线x=2分别交于点D、E.
（1）求m的值及该抛物线对应的函数关系式；
（2）求证：① CB=CE ；② D是BE的中点；
（3）若P(x，y)是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P,使得PB=PE,若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由
答案：解：（1）∵ 点B(-2,m)在直线y=-2x-1上，
∴m=-2×(-2)-1=3.  ∴ B(-2,3)
∵ 抛物线经过原点O和点A，对称轴为x=2，
∴ 点A的坐标为(4,0) .               
设所求的抛物线对应函数关系式为y=a(x-0)(x-4).  
将点B(-2,3)代入上式，得3=a(-2-0)(-2-4)，∴ .
∴ 所求的抛物线对应的函数关系式为，即.
（2）①直线y=-2x-1与y轴、直线x=2的交点坐标分别为D(0,-1) E(2,-5).
 过点B作BG∥x轴，与y轴交于F、直线x=2交于G，
 则BG⊥直线x=2，BG=4.
在Rt△BGC中
2008年全国中考数学压轴题精选（十二）.doc