知识点9：与二次函数有关的面积问题，二次函数的极值问题，二次函数的应用
一、选择题
1.（2008年山东省潍坊市）若一次函数的图像过第一、三、四象限,则函数（    ）
A.有最大值   B..有最大值  C.有最小值  D.有最小值
答案：C
2.（2008浙江杭州）如图，记抛物线的图象与正半轴的交点为，将线段分成等份．设分点分别为，，，，过每个分点作轴的垂线，分别与抛物线交于点，，…，，再记直角三角形，，…的面积分别为，，…，这样就有，，…；记，当越来越大时，你猜想最接近的常数是（    ）
A．		B．		C．		D．
答案：B
3．（08绵阳市）二次函数y = ax2 + bx + c的部分对应值如下表：
x	－3	－2	－1	0	1	2	3	4	5		y	12	5	0	－3	－4	－3	0	5	12		
利用二次函数的图象可知，当函数值y＜0时，x的取值范围是（    ）．
A．x＜0或x＞2    B．0＜x＜2　　　　　C．x＜－1或x＞3        D．－1＜x＜3
答案：D
4．（2008年浙江省嘉兴市）一个函数的图象如图，给出以下结论：
①当时，函数值最大；
②当时，函数随的增大而减小；
③存在，当时，函数值为0．
其中正确的结论是（    ）
A．①②		B．①③		C．②③		D．①②③ 
答案：C
5.(2008  湖北 恩施) 将一张边长为30㎝的正方形纸片的四角分别剪去一个边长为ｘ㎝的小正方形,然后折叠成一个无盖的长方体.当ｘ取下面哪个数值时,长方体的体积最大（    ）   
    A.  7             B.  6            C.  5             D.  4
答案：C
6.（2008泰安）如图所示是二次函数的图象在轴上方的一部分，对于这段图象与轴所围成的阴影部分的面积，你认为与其最接近的值是（   ）
A．4		B．		C．		D．
答案：B
7．（2008山东泰安）函数的图象如图所示，下列对该函数性质的论断不可能正确的是（ ）
A．该函数的图象是中心对称图形		
B．当时，该函数在时取得最小值2
C．在每个象限内，的值随值的增大而减小
D．的值不可能为1
答案：C
8.（2008 山东  临沂）如图，已知正三角形ABC的边长为1，E、F、G分别是AB、BC、CA上的点，且AE＝BF＝CG，设△EFG的面积为y，AE的长为x，则y关于x的函数的图象大致是（    ） 
答案：C
9.（2008山东潍坊）若一次函数的图像过第一、三、四象限,则函数（    ）
A.有最大值   B..有最大值  C.有最小值  D.有最小值
答案：D
二、填空题
1.（2008年吉林省长春市）某商店经营一种水产品，成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，    销售单价定为           元时，获得的利润最多. 
答案：70
2．（2008年山东省枣庄市）已知二次函数（）与一次函数的图象相交于点A（－2，4），B（8，2）（如图所示），则能使成立的的取值范围是　　　　　　　．
答案：x＜－2或x＞8
3.（2008四川内江）如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为          米．
答案：
4.（2008年庆阳市）二次函数的最小值是         ． 
答案：4
5.（2008年庆阳市） 兰州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高，房子的价格y（元/平方米）随楼层数x（楼）的变化而变化（x=1，2，3，4，5，6，7，8）；已知点（x，y）都在一个二次函数的图像上（如图6所示），则6楼房子的价格为        元/平方米．  
答案：2080
6.（2008甘肃兰州）农村常需要搭建截面为半圆形的全封闭蔬菜塑料暖房如图11所示，则需要塑料布（m2）与半径（m）的函数关系式是（不考虑塑料埋在土里的部分）        ． 
答案：
7.（2008浙江台州）如图，从地面垂直向上抛出一小球，小球的高 度（单位：米）与
小球运动时间（单位：秒）的函数关系式是，那么小球运动中的最大
高度         ．	
答案：4.9米
三、简答题
1.（2008年浙江省衢州市）已知直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，四个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(10，0)，B(8，)，C(0，)，点T在线段OA上(不与线段端点重合)，将纸片折叠，使点A落在射线AB上(记为点A′)，折痕经过点T，折痕TP与射线AB交于点P，设点T的横坐标为t，折叠后纸片重叠部分(图中的阴影部分)的面积为S；
(1)求∠OAB的度数，并求当点A′在线段AB上时，S关于t的函数关系式；
(2)当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t的取值范围；
(3)S存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t的值；若不存在，请说明理由。
解：(1) ∵A，B两点的坐标分别是A(10，0)和B(8，)，
       ∴，
       ∴
       当点A′在线段AB上时，∵，TA=TA′，
       ∴△A′TA是等边三角形，且，
       ∴，，
       ∴，
       当A′与B重合时，AT=AB=，
       所以此时。
   (2)当点A′在线段AB的延长线，且点P在线段AB(不与B重合)上时，
     纸片重叠部分的图形是四边形(如图(1)，其中E是TA′与CB的交点)，
     当点P与B重合时，AT=2AB=8，点T的坐标是(2，0)
     又由(1)中求得当A′与B重合时，T的坐标是(6，0)
B
E
?     所以当纸片重叠部分的图形是四边形时，。
 (3)S存在最大值
     1当时，，
     在对称轴t=10的左边，S的值随着t的增大而减小，
∴当t=6时，S的值最大是。
2当时，由图1，重叠部分的面积
∵△A′EB的高是，
∴
当t=2时，S的值最大是；
3当，即当点A′和点P都在线段AB的延长线是(如图2，其中E是TA′与CB的交点，F是TP与CB的交点)，
∵，四边形ETAB是等腰形，∴EF=ET=AB=4，
∴
综上所述，S的最大值是，此时t的值是。
2. （08山东省日照市）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM＝x．   
（1）用含x的代数式表示△ＭNP的面积S；      
（2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切？       
（3）在动点M的运动过程中，记△ＭNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
解：（1）∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM＝∠C． 
  ∴ △AMN ∽ △ABC．
∴ ，即．
∴ AN＝x．   ……………2分
∴ =．（0＜＜4）  ……………3分
（2）如图2，设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO，OD，则AO =OD =MN．
在Rt△ABC中，BC ＝=5．
    由（1）知 △AMN ∽ △ABC． 
∴ ，即．  
∴ ，
∴ ．   …………………5分
过M点作MQ⊥BC 于Q，则．  
在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，
∴ △BMQ∽△BCA．
∴ ．
∴ ，． 
∴ x＝．  
∴ 当x＝时，⊙O与直线BC相切．（3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连结AP，则O点为AP的中点．
∵ MN∥BC，∴ ∠AMN=∠B，∠AOM＝∠APC．
∴ △AMO ∽ △ABP．   
∴ ． AM＝MB＝2．  
故以下分两种情况讨论： 
① 当0＜≤2时，．  
∴ 当＝2时，  ……………………………………8分
② 当2＜＜4时，设PM，PN分别交BC于E，F．
∵ 四边形AMPN是矩形，  
∴ PN∥AM，PN＝AM＝x． 
又∵ MN∥BC， 
∴ 四边形MBFN是平行四边形． 
∴ FN＝BM＝4－x．  
∴ ． 
又△PEF ∽ △ACB．  
∴ ．
∴ ． ……………………………………………… 9分
＝．……………………10分
当2＜＜4时，．    
∴ 当时，满足2＜＜4，．     ……………………11分
综上所述，当时，值最大，最大值是2． …………………………12分
3.（2008淅江金华）跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线.正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB为6米，到地 面的距离AO和BD均为O. 9米，身高为1.4米的小丽站在距点O的水平距离为1米的点F处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E。以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为y=ax2+bx+0.9. (1)求该抛物线的解析式；(2)如果小华站在OD之间，且离点O的距离为3米，当绳子甩到最高处时刚好通过
2008年中考数学试题按知识点分类汇编（、二次函数的应用）.doc