奥数数论基础知识 一 质数和合数 (1)一个数除了1和它本身,不再有别的约数,这个数叫做质数(也叫做素数)。 一个数除了1和它本身,还有别的约数,这个数叫做合数。 (2)自然数除0和1外,按约数的个数分为质数和合数两类。 任何一个合数都可以写成几个质数相乘的形式。 要特别记住:0和1不是质数,也不是合数。 (3)最小的质数是2 ,2是唯一的偶质数,其他质数都为奇数; 最小的合数是4。 (4)质数是一个数,是含有两个约数的自然数 。 互质数是指两个数,是公约数只有一的两个数,组成互质数的两个数可能是两个质数(3和5),可能是一个质数和一个合数(3和4),可能是两个合数(4和9)或1与另一个自然数。 (5)如果一个质数是某个数的约数,那么就说这个质数是这个数的质因数。 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。 (6)100以内的质数有25个:2、3、5、7、11、13、17、19、23、 29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、 83、89、97 . 二 整除性 (1)概念 一般地,如a、b、c为整数,b≠0,且a÷b=c,即整数a除以整除b(b不等于0),除得的商c正好是整数而没有余数(或者说余数是0),我们就说,a能被b整除(或者说b能整除a)。记作b|a.否则,称为a不能被b整除,(或b不能整除a),记作b a。 如果整数a能被整数b整除,a就叫做b的倍数,b就叫做a的约数。 (2)性质 性质1:(整除的加减性)如果a、b都能被c整除,那么它们的和与差也能被c整除。 即:如果c|a,c|b,那么c|(a±b)。 例如:如果2|10,2|6,那么2|(10+6),并且2|(10—6)。 也就是说,被除数加上或减去一些除数的倍数不影响除数对它的整除性。 性质2:如果b与c的积能整除a,那么b与c都能整除a. 即:如果bc|a,那么b|a,c|a。 性质3:(整除的互质可积性)如果b、c都能整除a,且b和c互质,那么b与c的积能整除a。 即:如果b|a,c|a,且(b,c)=1,那么bc|a。 例如:如果2|28,7|28,且(2,7)=1, 那么(2×7)|28。 性质4:(整除的传递性)如果c能整除b,b能整除a,那么c能整除a。 即:如果c|b,b|a,那么c|a。 例如:如果3|9,9|27,那么3|27。 (3)数的整除特征 ①能被2整除的数的特征:个位数字是0、2、4、6、8的整数. ②能被5整除的数的特征:个位是0或5。突破口 ③能被3(或9)整除的数的特征:各个数位数字之和能被3(或9)整除。 判断能被3(或9)整除的数还可以用“弃3(或9)法”: 例如:8351746能被9整除么? 解:8+1=9,3+6=9,5+4=9,在数字中只剩7,7不是9的倍数,所以8351746不能被9整除。 ④能被4(或25)整除的数的特征:末两位数能被4(或25)整除。 ⑤能被8(或125)整除的数的特征:末三位数能被8(或125)整除。 ⑥能被11整除的数的特征:这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差(大减小)是11的倍数。 ⑦能被7(11或13)整除的数的特征:一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差(以大减小)能被7(11或13)整除,依此反复检验。 例如:判断3546725能否被13整除? 解:把3546725分为3546和725两个数.因为3546-725=2821.再把2821分为2和821两个数,因为821—2=819,又13|819,所以13|2821,进而13|3546725. 上述办法也可以用来判断余数和末位数; 对于其他的数,可以将其分解成上述几个互质的数的乘积,再逐个考虑。 三 约数与倍数 (1)公约数和最大公约数 几个数公有的约数,叫做这几个数的公约数;其中最大的一个,叫做这几个数的最大公约数。 例如:4是12和16的最大公约数,可记做:(12 ,16)=4 (2)公倍数和最小公倍数 几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数;其中最小的一个,叫做这几个数的最小公倍数。 例如:36是12和18的最小公倍数,记作[12,18]=36。 (3)最大公约数和最小公倍数的关系 如果用a和b表示两个自然数 1、那么这两个自然数的最大公约数与最小公倍数关系是: (a,b)×[a,b]=a×b。 (多用于求最小公倍数) 2、(a,b) ≤ a ,b ≤ [a,b] 3、[a,b]是(a,b)的倍数,(a,b)是[a,b]的约数 4、(a,b)是a+b 和a-b 的约数,也是(a,b)+[a,b]和(a,b)-[a,b]的约数 (4)求最大公约数的方法很多,主要推荐:短除法、分解质因数法、辗转相除法。 例如:1、(短除法)用一个数去除30、60、75,都能整除,这个数最大是多少? 解:∵ (30,60,75)=5×3=15 这个数最大是15。 2、(分解质因数法)求1001和308的最大公约数是多少? 解:1001=7×11×13(这个质分解常用到) , 308=7×11×4 所以最大公约数是7×11=77 在这种方法中,先将数进行质分解,而后取它们“所有共有的质因数之积”便是最大公约数。 3、(辗转相除法)用辗转相除法求4811和1981的最大公约数。 解:∵4811=2×1981+849, 1981=2×849+283, 849=3×283, ∴(4811,1981)=283。 补充说明:如果要求三个或更多的数的最大公约数,可以先求其中任意两个数的最大公约数,再求这个公约数与另外一个数的最大公约数,这样求下去,直至求得最后结果。 (5)约数个数公式 一个合数的约数个数,等于它的质因数分解式中每个质因数的个数(即指数)加1的连乘的积。 例如:求240的约数的个数。 解:∵240=24×31×51, ∴240的约数的个数是 (4+1)×(1+1)×(1+1)=20, ∴240有20个约数。 四 奇偶性 (1)奇数和偶数 整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数,不能被2整除的数叫做奇数。 偶数通常可以用2k(k为整数)表示,奇数则可以用2k+1(k为整数)表示。 特别注意,因为0能被2整除,所以0是偶数。 最小的奇数是1 ,最小的偶数是0 . (2)奇数与偶数的运算性质 性质1:偶数±偶数=偶数, 奇数±奇数=偶数。 性质2:偶数±奇数=奇数。 性质3:偶数个奇数相加得偶数。 性质4:奇数个奇数相加得奇数。 性质5:偶数×奇数=偶数, 奇数×奇数=奇数。 偶数×偶数=偶数 (3)反证法 例:桌上有9只杯子,全部口朝上,每次将其中6只同时“翻转”.请说明:无论经过多少次这样的“翻转”,都不能使9只杯子全部口朝下。 解:要使一只杯子口朝下,必须经过奇数次“翻转”.要使9只杯子口全朝下,必须经过9个奇数之和次“翻转”.即“翻转”的总次数为奇数.但是,按规定每次翻转6只杯子,无论经过多少次“翻转”,翻转的总次数只能是偶数次.因此无论经过多少次“翻转”,都不能使9只杯子全部口朝下。 这个证明过程教给我们一种思考问题和解决问题的方法.先假设某种说法正确,再利用假设说法和其他性质进行分析推理,最后得到一个不可能成立的结论,从而说明假设的说法不成立.这种思考证明的方法在数学上叫“反证法”。
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