第16课时  二次函数
一、中考导航图
1.二次函数的意义;2.二次函数的图象;3.二次函数的性质
                           顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)
4.二次函数 待定系数法确定函数解析式  一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)
                                    两根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)
5.二次函数与一元二次方程的关系。
6.抛物线y=ax2+bx+c的图象与a、b、c之间的关系。
二、中考课标要求
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    │      │                      │     知识与技能目标     │
    │ 考点 │     考纲要求         ├──┬──┬──┬───┤
    │      │                      │了解│理解│掌握│灵活应用
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    │      │理解二次函数的意义    │    │ ∨ │    │      │
    │      ├───────────┼──┼──┼──┼───┤
    │      │会用描点法画出二次函数│    │    │    │      │
    │      │的图象                │    │    │ ∨ │      │
    │  二  ├───────────┼──┼──┼──┼───┤
    │      │会确定抛物线开口方向、│    │    │ ∨ │      │
    │  次  │顶点坐标和对称轴      │    │    │    │      │
    │      ├───────────┼──┼──┼──┼───┤
    │  函  │通过对实际问题的分析确│    │    │    │      │
    │      │定二次函数表达式      │    │ ∨ │ ∨ │      │
    │  数  ├───────────┼──┼──┼──┼───┤
    │      │理解二次函数与一元二次│    │    │    │      │
    │      │方程的关系            │    │ ∨ │    │      │
    │      ├───────────┼──┼──┼──┼───┤
    │      │会根据抛物线y=ax2+bx+c│    │    │    │      │
    │      │(a≠0)的图象来确定a、 │    │    │ ∨ │      │
    │      │b、c的符号            │    │    │    │      │
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    三、中考知识梳理
    1.二次函数的图象
    在画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象时通常先通过配方配成y=a(x+)2+ 的形式,先确定顶点(-,),然后对称找点列表并画图,或直接代用顶点公式来求得顶点坐标.
    2.理解二次函数的性质
    抛物线的开口方向由a的符号来确定,当a 0时,在对称轴左侧y随x的增大而减小;在对称轴的右侧,y随x的增大而增大;简记左减右增,这时当x=-时,y最小值;反之当a 0时,简记左增右减,当x=-时y最大值.
    3.待定系数法是确定二次函数解析式的常用方法
    一般地,在所给的三个条件是任意三点(或任意三对x,y的值)可设解析式为y=ax2+bx+c,然后组成三元一次方程组来求解;在所给条件中已知顶点坐标或对称轴或最大值时,可设解析式为y=a(x-h)2+k;在所给条件中已知抛物线与x轴两交点坐标或已知抛物线与x轴一交点坐标和对称轴,则可设解析式为y=a(x-x1)(x-x2)来求解.
    4.二次函数与一元二次方程的关系
    抛物线y=ax2+bx+c当y=0时抛物线便转化为一元二次方程ax2+bx+c=0,即抛物线与x轴有两个交点时,方程ax2+bx+c=0有两个不相等实根;当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有一个交点,方程ax2+bx+c=0有两个相等实根;当抛物线y=ax2+bx+c与x轴无交点,方程ax2+bx+c=0无实根.
    5.抛物线y=ax2+bx+c中a、b、c符号的确定
    a的符号由抛物线开口方向决定,当a 0时,抛物线开口向上;当a 0时,抛物线开口向下;c的符号由抛物线与y轴交点的纵坐标决定.当c 0时,抛物线交y轴于正半轴;当c 0时,抛物线交y轴于负半轴;b的符号由对称轴来决定.当对称轴在y轴左侧时,b的符号与a的符号相同;当对称轴在y轴右侧时,b的符号与a的符号相反;简记左同右异.
    6.会构建二次函数模型解决一类与函数有关的应用性问题,应用数形结合思想来解决有关的综合性问题.
    四、中考题型例析
    1. 二次函数解析式的确定
    例1  求满足下列条件的二次函数的解析式
    (1)图象经过A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6);
    (2)图象经过A(-1,0)、B(3,0),函数有最小值-8;
    (3)图象顶点坐标是(-1,9),与x轴两交点间的距离是6.
    分析:此题主要考查用待定系数法来确定二次函数解析式.可根据已知条件中的不同条件分别设出函数解析式,列出方程或方程组来求解.
    (1)解:设解析式为y=ax2+bx+c,把A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6)各点代入上式得
           解得
    ∴解析式为y=x2+2.
(2)解法1:由A(-1,0)、B(3,0)得抛物线对称轴为x=1,所以顶点为(1,-8).
设解析式为y=a(x-h)2+k,即y=a(x-1)2-8.
    把x=-1,y=0代入上式得0=a(-2)2-8,∴a=2.
    即解析式为y=2(x-1)2-8,即y=2x2-4x-6.
解法2:设解析式为y=a(x+1)(x-3),确定顶点为(1,-8)同上,
把x=1,y=-8代入上式得-8=a(1+1)(1-3).解得a=2,
∴解析式为y=2x2-4x-6.
    解法3:∵图象过A(-1,0),B(3,0)两点,可设解析式为:y=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a.
    ∵函数有最小值-8.
    ∴=-8.
    又∵a≠0,∴a=2.
    ∴解析式为y=2(x+1)(x-3)=2x2-4x-6.
(3)解:由顶点坐标(-1,9)可知抛物线对称轴方程是x=-1,
又∵图象与x轴两交点的距离为6,即AB=6.
由抛物线的对称性可得A、B两点坐标分别为A(-4,0),B(2,0),
设出两根式y=a(x-x1)·(x-x2),
将A(-4,0),B(2,0)代入上式求得函数解析式为y=-x2-2x+8.
    点评:一般地,已知三个条件是抛物线上任意三点(或任意3对x,y的值)可设表达式为y=ax2+bx+c,组成三元一次方程组来求解;如果三个已知条件中有顶点坐标或对称轴或最值,可选用y=a(x-h)2+k来求解;若三个条件中已知抛物线与x轴两交点坐标,则一般设解析式为y=a(x-x1)(x-x2).
   2. 二次函数的图象
    例2  (2003·孝感)y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则点M(a,bc)在(  ).
    A.第一象限      B.第二象限
    C.第三象限      D.第四象限
    分析:由图可知:
    抛物线开口向上a 0.
    bc 0.
    ∴点M(a,bc)在第一象限.
    答案:A.
    点评:本题主要考查由抛物线图象会确定a、b、c的符号.
例3  (2003·岳阳)已知一次函数y=ax+c二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),它们在同一坐标系中的大致图象是(   ).
    分析:一次函数y=ax+c,当a 0时,图象过一、三象限;当a 0时,图象过二、四象限;c 0时,直线交y轴于正半轴;当c 0时,直线交y轴于负半轴;对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)来讲:
    解:可用排除法,设当a 0时,二次函数y=ax2+bx+c的开口向上,而一次函数y=ax+c应过一、三象限,故排除C;当a 0时,用同样方法可排除A;c决定直线与y轴交点;也在抛物线中决定抛物线与y轴交点,本题中c相同则两函数图象在y轴上有相同的交点,故排除B.
    答案:D.
    3.  二次函数的性质
    例4  (2002·杭州)对于反比例函数y=-与二次函数y=-x2+3,请说出他们的两个相同点:①_________,②_________;再说出它们的两个不同点:①________,②_________.
    分析:本小题是个开放性题目,可以从以下几点性质来考虑①增减性②图象的形状③最值④自变量取值范围⑤交点等.
    解:相同点:①图象都是曲线,②都经过(-1,2)或都经过(2,-1);
    不同点:①图象形状不同,②自变量取值范围不同,③一个有最大值,一个没有最大值.
    点评:本题主要
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