第十七届“希望杯’’全国数学邀请赛
                    初一    第2试
2006年4月16日    上午8：30至10：30    得分_________
 一、选择题(每小题4分，共40分．)以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内．
1．a和b是满足ab≠0的有理数，现有四个命题：
①的相反数是；
a-b的相反数是a的相反数与b的相反数的差；
b的相反数的乘积；
的倒数和b的倒数的乘积．
(  ) 
(A)1个．     (B)2个．     (C)3个．     (D)4个．
2．在下面的图形中，不是正方体的平面展开图的是(    )
3．在代数式中，与的值各减少25％，则该代数式的值减少了(    (A)50％．    (B)75％    (C)       (D)．
4．若 b 0 c d，则以下四个结论中，正确的是(    )
(A)+b+c+d一定是正数．   (B)d+c-a-b可能是负数．
(C)db-a一定是正数．    (D)c-d-b-a一定是正数．
5．在图1中，DA=DB=DC，则的值是(    )
(A)10．     (B)20．     (C)30．     (D)40．
6．已知，b，c都是整数，m+b|+|b-c|+|a-c|，那么(     )
(A)一定是奇数．    (B)m一定是偶数．
(C)仅当，b，同奇或同偶时，m是偶数． (D)m的奇偶性不能确定．
7．三角形三边的长，b，c都是整数，且[，b，c60，(，)=4，(，)=3．(注：[，，c]表示，，的最小公倍数，(，)表示，b的最大公约数)，则+b+c的最小值是(    )
(A)30．    (B)31．    (C)32．    (D)33．
8．如图2，矩形ABCD由3×4个小正方形组成．此图中，不是正方形的矩形有(    )
(A)40个．    (B)38个．    (C)36个．    (D)34个．
9．设是有理数，用[]表示不超过的最大整数，如[17]=1，[1]=-1，]=0，[1.2]
=-2，则在以下四个结论中，正确的是(    )
 10．On the number axis，there are two points A and B corresponding to numbers 7 and b respectively，and the distance between A and B is less than 10．Let m=5-2b。then the range of the value of m is(    )
 (英汉词典：number axis数轴；point点；corresponding to对应于…；respectively分别地；distance距离；1ess than小于；value值、数值；range范围)
二、填空题(每小题4分，共40分．)
13．图3是一个小区的街道图，A、B、C、…、X、、Z是道路交叉的17个路口，站
=_________.
16．乒乓球比赛结束后，将若干个乒乓球发给优胜者．取其中的一半加半个发给第一名；取余下    ______个．17．有甲、乙、丙、丁四人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄之和分别为29，23，21和17岁．
18．初一(2)班的同学站成一排，他们先自左向右从“1”开始报数，然后又自右1”开始20”的两名同学之间(包括这两名同学)恰有15人，则全班同学共有
的末位数字是___________．
20．Assume that a，b，c，d are all integers，and four equations(a-2b)x=1，(b-3c)y=1，
(c-4d)z=1，w+100=d  have always solutions x，y，z，w of positive numbers respectively,then the minimum of a is_____________．
  (英汉词典：to  assume假设；integer整数；equation方程；solution(方程的)解；positive正的；respectively分别地；minimum最小值)(本大题共3小题，共40分．)  要求：写出推算过程．
21．(本小题满分10分)
(1)证明：奇数的平方被8除余1．
(2)请你进一步证明：2006不能表示为10个奇数的平方之和．22．(本小题满分15分)
   如图4所示，三角形ABC的面积为1，E是AC的中点，O是BE的中点．连结AOBC于D，连结并延长交AB于F．求四边形BDOF的面积．
    23．(本小题满分15分)
老师带着两名学生到离学校33千米远的博物馆参观．老师乘一辆摩托车，速度为25千米／小20千米／小时．学生步行的速度为5千米／小3个小时．
              参考答案及评分标准
    初中一年级  第2试
  一、选择题(每小题4分)
二、填空题(每小题4分)
   21．(1)设"为任意整数，则2n+1为任意奇数．
因此，奇数的平方被8除余1．    (5分)
(2)假设2006可以表示为10个奇数的平方之
(其中,,…,都是奇数)．  (8分)
8除余2，而2006被8除余6．矛盾!
2006不能表示为10个奇数的平方之和                                         (10分)
22．设
因为  E是AC的中点，0是BE的中点，
(2分)
由        
得     
即   
又   
由    
得    
即  
所以  
(15分)
 23．要使师生三人都到达博物馆的时问尽可能
  设学生为甲、    (5分)
    设老师带甲乘摩托车行驶了千米，用了小
这时老师让甲步行前进，而自己返回接乙，遇到乙时，用了
乙遇到老师时，已经步行了
离博物馆还有       
要使师生三人能同时到达博物馆，甲、乙二人搭乘摩托车的路程应相同，则有
  (12分)
24千米，用时2小时，再步行91.8小时，共计3小时．
因此，上述方案可使师生三人同时出发后都到3个小时．    (15分)
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