复习圆,需要把握的几个问题 上海 孙老师 1、半圆形的周长与半圆的弧长,不是同一个概念 先从一个常见的题目说起. 半径是的半圆的周长为………………( ) A、 B、、、最后答案,可能聚焦在A、C两max.book118.com项A忽视了半圆的直径. 事实上,正确答案,应该是A. 因为圆心为、半径为的圆,可以看作是所有到定点的距离等于定长的点组成的图形;圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆. 由此可见:半圆的周长,其实就是半圆的弧长. 半圆与直径所围成的半圆形的周长,是半圆的弧长加上一个直径的长. 2、圆心在不在圆上? 仔细阅读下面两位同学的对话,然后再翻阅课本,给出你自己的解答. 小明:圆心在不在圆上?圆心当然在圆上.不然为什么叫圆心而不称为圆的中心! 小亮:圆心不在圆上.因为“在一个平面内,线段绕它的一个固定的一个端点旋转一周,另一个端点所组成的图形叫做圆”.圆心不属于另一个端点所围成的图形,所以圆心不在圆上. 3、灵活掌握垂径定理以及相关命题 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. 图1中的直径,有这样几个特点: (1)过圆心(即直径),(2)垂直于弦,(3)平分弦,(4)平分弦所对的劣弧,(5)平分弦所对的优弧. 事实上,在这五点之中,任取两点作为命题的题设,其余三点作为命题的结论,都可以组成一个命题,这样,共可以组成10个命题. 垂径定理所描述的命题,其实就可以理解为: . 类似地,依据,我们可以构造出命题2:平分弦的直径,垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. 需要引起注意的是:命题2是一个假命题.同一个圆中的任意两条直径所组成的图形,皆可以成为说明命题2为假命题的事例. 由此,命题2可以改造为:平分弦(不是直径)的直径,垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. 依据,我们可以构造出命题3:弦的垂直平分线过圆心,且平分弦所对的两条弧.这是一个真命题,可以用来确定一条弧所在圆的圆心位置. 其他命题以及真假,请同学们自主完成. 4、学会使用圆的对称性研究问题 例题1.如图,已知与轴相切于坐标原点,点是 与轴的交点,点交⊙P 于点,连结并延长交轴于点. (1) 求线段的长; (2) 求直线的函数解析式; 当点在轴上移动时,是否存在点,相似于? 若存在,求出符合解:(1)由题意得:,,,在中, ,∴,∴. (2)过点作轴于,则利用相似三角形可求,,,从而可求得直线的函数解析式:. (3)在轴上存在点,使与相似. ,∴若与相似,则,∴,. 由,可得. 根据对称性,可得. 因此,符合条件的点有两个,其坐标分别为. 5、体会分类讨论的数学思想方法 从点与圆的位置关系(点在圆外、点在圆上、点在圆内),直线与圆的位置关系(直线与圆相交、直线与圆相切、直线与圆相离),圆与圆的位置关系(两圆外离、外切、相交、内切、内含),到圆周角定理的证明(圆心在圆周角的一条边上、圆心在圆周角的内部、圆心在圆周角的外部),三角形与其外心的位置等知识点,处处渗透着分类讨论的数学思想. 因此,学习本章,一定要结合具体问题,领会分类讨论的数学思想. 例2.一个点到圆的最大距离为11cm,最小距离为5cm,则圆的半径为( ). A、B C、3cm D的O的半径,那么这条直线与⊙O的位置关系是( ). A、相交 B、相切 C、相离 DO1与⊙O2的圆心距为5,⊙O1的半径为3,若两圆相切,则⊙O2的半径为 . 例5.AB是⊙O的弦,∠AOB=80°则弦AB所对的圆周角是( ). A、40° BC、20° D在半径为5cm的圆内有两条平行弦,一条弦长为6cm,另一条弦长为8cm,则两条平行弦之间的距离为_________ 1 图2 图1
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