蝴 蝶 定 理AB是圆的一条弦,中点记为S,圆心为O,过S作任意两条弦CD、EF,分别交圆于C、D、E、F,连接CF,ED分别交AB于点M、N,求证:MS=NS。证明要点:过O作OL⊥ED,OT⊥CF,垂足为L、T,连接ON,OM,OS,SL,ST容易证明△ESD∽△CSF所以ES/CS=ED/FC根据垂径定理得:LD=ED/2,FT=FC/2所以ES/CS=EL/CT又因为∠E=∠C 所以△ESL∽△CST所以∠SLN=∠STM因为S是AB的中点所以OS⊥AB所以∠OSN=∠OSN=90°所以∠OSN+∠OSN=180°所以O,S,N,L四点共圆同理O,T,M,S四点共圆所以∠STM=∠SOM,∠SLN=∠SON所以∠SON=∠SOM ,因为OS⊥AB所以MS=NS本题就是平面几何上著名的“蝴蝶定理”,证明方法有几种,上面是一种最基本的证明方法,也可以用正弦定理或面积证明。
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