两个三角板“携手”进中考（2011-3 初中数学教与学）
近年来，以三角板为载体的中考题频频出现，命题者把三角板与所考查的知识有机融合，给出了一批题面新颖，构思巧妙的题目，下面分类举例由两个三角板构成的中考题，供参考。
静止型
例1．（2009年广西贺州）27．(本题满分8分)
图中是一副三角板，45°的三角板Rt△DEF的直角顶点D恰好在30°的三角板Rt△ABC斜边AB的中点处，∠A=30o，∠E= 45o，∠EDF=∠ACB=90 o ，DE交AC于点G，GM⊥AB于M．
（2）如图②，当DF∥AC时，DF交BC于H，作HN⊥AB于N，（1）的结论仍然成立，请你说明理由．
解析：27．（本题满分8分）
证明：（1）∵∠A=30°，∠ACB=90°，D是AB的中点．
     ∴BC=BD， ∠B=60°
     ∴△BCD是等边三角形．1分
     又∵CN⊥DB，
     ∴ 2分
     ∵∠EDF=90°，△BCD是等边三角形．
     ∴∠ADG=30°，而∠A=30°．
     ∴GA=GD．
∵GM⊥AB
∴3分
又∵AD=DB
∴AM=DN   4分
（2）∵DF∥AC
∴∠1=∠A=30°，∠AGD=∠GDH=90°，
∴∠ADG=60°．
∵∠B=60°，AD=DB，
∴△ADG≌△DBH
∴AG=DH，6分
又∵∠1=∠A，GM⊥AB，HN⊥AB，
∴△AMG≌△DNH．
∴AM=DN ．   8分
平移型
例2．（2008年广东省）22.（本题满分9分）将两块大小一样含30°角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边
AB重合，直角边不重合，已知AB=8，BC=AD=4，AC与BD相交于点E，连结CD．
(1)填空：如图9，AC=         ，BD=         ；四边形ABCD是       梯形.
(2)请写出图9中所有的相似三角形（不含全等三角形）.
(3)如图10，若以AB所在直线为轴，过点A垂直于AB的直线为轴建立如图10的平面直角坐标系，保持ΔABD不动，将ΔABC向轴的正方向平移到ΔFGH的位置，FH与BD相交于点P，设AF=t，ΔFBP面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值值范围.
解析：22.解：（1），，…………………………1分
等腰；…………………………2分
   （2）共有9对相似三角形.（写对3－5对得1分，写对6－8对得2分，写对9对得3分）
  　①△DCE、△ABE与△ACD或△BDC两两相似，分别是：△DCE∽△ABE，△DCE∽△ACD，△DCE∽△BDC，△ABE∽△ACD，△ABE∽△BDC；(有5对)
②△ABD∽△EAD，△ABD∽△EBC；(有2对)
③△BAC∽△EAD，△BAC∽△EBC；(有2对)
所以，一共有9对相似三角形.…………………………………………5分
（3）由题意知，FP∥AE，
    ∴ ∠1＝∠PFB，
又∵ ∠1＝∠2＝30°，
  ∴ ∠PFB＝∠2＝30°,
∴ FP＝BP.…………………………6分
过点P作PK⊥FB于点K，则.
∵ AF＝t，AB＝8，
∴ FB＝8－t，.
在Rt△BPK中，. ……………………7分
∴ △FBP的面积，
∴ S与t之间的函数关系式为：
      ，或. …………………………………8分
t的取值范围为：. …………………………………………………………9分
摆放旋转型
例3．（2010年湖南湘潭）23．（本题满分8分）
Rt△ABC与Rt△FED是两块全等的含30o、60o角的三角板，按如图（一）所示拼在一起，CB与DE重合．
（1）求证：四边形ABFC为平行四边形；
（2）取BC中点O，将△ABC绕点O顺时钟方向旋转到如图（二）中△位置，直线与AB、CF分别相交于P、Q两点，猜想OQ、OP长度的大小关系，并证明你的猜想．
 (3)在(2)的条件下,指出当旋转角至少为多少度时,四边形PCQB为菱形(不要求证明).
解析：23．（本题满分8分）
      证：（1）              　  ……………………1分
          ∴AB=CF，AC=BF ABCF为平行四边形           ……………………3分
          （用其它判定方法也可）
（2）OP=OQ                          ……………………4分
理由如下：
              ……………………6分
              ∴OP=OQ                        ……………………7分
(用平行四边形对称性证明也可)     
          (3)90o                           ……………………8分
例4．（2009年广西玉林）25．（本小题满分12分）将一副直角三角板放置像图10那样，等腰三角板的直角顶点在直角三角板的直角边上，点、、、在同一直线上，点、的三等分点，
（1）三角板固定不动，将三角板绕点逆时针旋转至（如图11），试求旋转的度数；点在上吗？为什么？
（2）在图11的位置，将三角板绕点继续逆时针旋转．请问此时与有何位置关系？为什么？
25．解：（1）∵EF∥CB，∴∠BDF＝∠F＝30°．1分
        ∴DF旋转了30°．2分
        在等腰直角△ABC中，∵AD⊥BC，∴AD＝CD＝DB． 3分
        ∵D、B是CF的三等分点，CF＝6，∴CD＝2，DF＝4．4分
        ∴AD＝CD＝2．5分
        过点D作DH⊥EF于H．
        由题意，得DH＝DFsin30°＝2．6分
        ∴AD＝DH，即点A与点H重合．
        可见点A在EF上．7分
      （2）AC∥DF．理由如下：8分
       由题意，可知DF旋转的度数为30°＋15°＝45°．9分
       ∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠C＝45°．10分
       ∴∠C＝∠BDF．11分
       ∴AC∥DF．12分  
例5．（2010年福建晋江）24.（10分）已知：如图，有一块含的直角三角板的直角边长的长恰与另一块等腰直角三角板的斜边的长相等，把该套三角板放置在平面直角坐标系中，且.
(1)若双曲线的一个分支恰好经过点，求双曲线的解析式；
(2)若把含的直角三角板绕点按顺时针方向旋转后，斜边恰好与轴重叠，落在点，试求图中阴影部分的面积().
解析：24.（本小题10分）
解：(1) 在中，，，
，……………………………………………………………（1分）
∴，………………………………（2分）
∴点
设双曲线的解析式为
∴，，则双曲线的解析式为
…………………………………………………（4分）
(2) 在中，，，
，，
∴.………………………………………（5分）
由题意得：，
………………………（7分）
在中，，，
∴.………………………………………（8分）
∴.
∴……………………………………（10分）
M
E
F
C
B
N
D
A
G
45°
30°
第27题图
①
45°
30°
B
E
F
C
N
D
M
A
G
H
②
E
F
C
B
N
D
A
G
45°
30°
M
第27题图①
第27题图②
45°
30°
B
E
F
C
N
D
M
A
G
H
1
E
D
C
H
F
G
B
A
P
y
x
图
10
D
C
B
A
E
图
K
23题图
C
D
B
F
E
A
图10
D
B
C
A
E
F
图11
A
OA
B
C
D
A’
xA
yxA
A
OA
B
C
D
A’
xA
yxA

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