生活数学与智巧趣题  主讲人：吕建国 主讲内容： 奇偶性问题 完全平方数 挑次品 归纳法 枚举法 “抢数”游戏 抽屉原理 公倍数问题  二进制问题 行程问题 钟表问题 时间差问题 比例问题 经济问题 银行利率 剩余定理 例1：奇偶性的应用（1） 某班同学参加学校的数学竞赛，共30道试题.评分标准是：答对一题给3分，答错倒扣1分，不答给1分.请你说明：该班同学得分总和一定是偶数. 分析 每个学生的得分数都是偶数，是解答此题的关键所在.解 对每个学生来说，30道题都答对可得90分，是个偶数.如答错一题，就相差4分，不管答错几题，4的倍数都是偶数，90减去偶数还是偶数.同样，如不答一题，就相差2分，不管不答几题，2的倍数都是偶数，偶数减去偶数还是偶数.因此，每个学生的得分数都是偶数.而偶数的和仍是偶数，故全班同学得分数的总和一定是偶数.  例2：奇偶性的应用（2） 桌上有9只杯子，全部口朝上，每次将其中6只同时“翻转”。请说明：无论经过多少次这样的“翻转”，都不能使9只杯子全部口朝下。  解答：要使一只杯子口朝下，必须经过奇数次“翻转”。要使9只杯子口全朝下，必须经过9个奇数之和次“翻转”。即“翻转”的总次数为奇数。但是，按规定每次翻转6只杯子，无论经过多少次“翻转”，翻转的总次数只能是偶数次。因此无论经过多少次“翻转”，都不能使9只杯子全部口朝下。  例3：完全平方数的应用 少年宫游乐厅悬挂着200个彩色灯泡，这些灯泡或明或暗，十分有趣，这200个灯泡按1—200编号，它们的亮暗规则是：第一秒，全部灯泡变亮；第二秒，凡编号为2的倍数的灯泡由亮变暗；第三秒，凡编号为3的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态，即亮的变暗，暗的变亮；一般地，第秒凡编号为的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态。这样继续下去，每4分钟一个周期。问：第200秒时，明亮的灯泡有多少个？ 解答：某个灯泡，如果他的亮暗变化次数是奇数，那么它是明亮的。根据题意可知，号码为的灯泡，亮暗变化次数等于的约数的个数，若得约数的个数是奇数，则一定是平方数。所以200秒时，那些编号是平方数的灯泡是明亮的。因为200以内有14个平方数，所以200秒时明亮的灯泡有14个。  例4：用归纳法解决数学问题  老师给冬冬布置了12篇作文，规定他每天至少写一篇，最多能写3篇，那么他共有多少种写完作文的方法？  例5：枚举法解决数学问题 从1到100的自然数中，每次取出两个数，要使它们的和大于100，共有多少种取法？ 提示：用枚举法；此类方法适合于数目、种类不很繁杂的题，且分析时应尽量做到分类全面、不重不漏。 例6：排队报数问题 一个班有40人，站成一排，从左到右一次进行“1、2”报数，报1的人走开，剩下的人继续从左到右依次进行“1、2”报数，如此下去，直到只剩下一个人为止，最后剩下的一个人是哪一个人？  【点拨】：最后剩下的人所对应的号数应该是含有因数2最多的。即32【解答】：，把全班所有的人从左到右依次编号：1，2，3，4，5，……，40第一次报完，剩下的人，号码是2的倍数。第二次报完，剩下的人，号码是4的倍数。第三次报完，剩下的人，号码是8的倍数。第四次报完，剩下的人，号码是16的倍数。第五次报完，剩下的人，号码是32的倍数。所以最后剩下的那个人是第32号。 例7： “抢30” 游戏 小明与弟弟在玩一种“抢报30”的游戏，从1开始到30，两人轮流报数，每人每次最多报两个数，不能不报，谁先抢到“30”算赢。请问，在他们先报与后报的人中，谁有必胜的策略。  【点拨】：每次能报1个或2个，当对手报1个时，自己就报2个，对手报2个时，自己就报1个，这种方法可以简称为“凑3”【解答】：可以以3个数为一组，对手报的是3个数的一部分，自己报的是最后一部分，因此30÷3=10，没有余数，所以应该让对方先报，后报的人有必胜策略，就是“凑3” 例8：取棋子游戏 一堆棋子共有2002个，甲、乙两人玩轮流取棋子的游戏。甲先取，乙后取，并且规定每次取的棋子不能超过7粒，但不能不取。如果规定取到最后一粒的人为胜者，那么 甲应如何制定策略以取胜？  例9：挑次品 今有101枚硬币，其中有100枚同样的真币和1枚伪币，伪币与真币和重量不同。现需弄清楚伪币究竟比真币轻，还是比真币重，但只有一架没有砝码的天平。那么怎样利用这架天平称两次，来达到目的？  解答：分成50、50、1三堆：第一次称两个50，如果平了，第二次从这100个任意拿1个（当然是真的）与第三堆的1个称，自然会出结果；第一次称两个50不平是正常的，第二次我们把其中的一堆（或重的或轻的都行）分成25、25、称第二次：1、把轻的分成25、25，如果平了，说明那堆重的有假，当然假的是超重；如果不平，说明这50个轻的有假，假的是轻了；2、把重的分成25、25，道理同上。所以两次可以发现轻重，但是找不出哪个是假的。 例10：挑次品（2） 有27颗珍珠，其中一颗是假珍珠，这颗假珍珠外观上不易察觉，只是稍轻一些。现有一架天平，要想把假珍珠找出来，至少要称多少次？ 例11：抽屉原理  一个小组共有13名同学，其中至少有2名同学同一个月过生日。为什么？  【解答】：每年里共有12个月，任何一个人的生日，一定在其中的某一个月。如果把这12个月看成12个“抽屉”，把13名同学的生日看成13只“苹果”，把13只苹果放进12个抽屉里，一定有一个抽屉里至少放2个苹果，也就是说，至少有2名同学在同一个月过生日。 例12：公倍数问题  一次会餐供有三种饮料.餐后统计，三种饮料共用了65瓶；平均每2个人饮用一瓶A饮料，每3人饮用一瓶B饮料，每4人饮用一瓶C饮料.问参加会餐的人数是多少人？ 【点拨】：参加会餐人数应是2、3、4的公倍数。【解答】： [2，3，4]=12，参加会餐人数应是12的倍数。12÷2+12÷3+12÷4=6+4+3=13（瓶），可见12个人要用6瓶A饮料，4瓶B饮料，3瓶C饮料，共用13瓶饮料。又因为65÷13=5，所以参加会餐的总人数应是12的5倍，12×5=60（人）。答：参加会餐的总人数是60人。 例13：二进制问题 150粒糖果需至少装在几个盒子中，就能保证150以内所有糖果数都可用几只盒子凑齐，而不必打开盒子？此时每只盒子里放多少粒糖？ 例14：行程问题（1） 甲、乙两人同时从两地出发，相向而行，距离是100千米，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米，甲带着一只狗，狗每小时走10千米，这只狗同甲一道出发，碰到乙的时候，它又掉头朝甲这边走，碰到甲时又往乙那边走，直到两人相遇，问这只狗一共走了多少千米？ 例15：行程问题（2）一班、二班同学从学校出发，在距学校18 km的林场植树，因车少人多，只能两班共乘一辆汽车前往。一班先乘车，二班步行，汽车行至中途A地，一班同学下车步行，汽车立即返回接二班同学，最后两班同学同时到达林场，已知汽车时速60 km/h，步行速度为4 km/h，同学们上下车的时间忽略不计，求两班同学从学校出发到林场需多长时间？ 例16：比例问题  车过河交渡费3元，马过河交渡费2元，人过河交渡费1元，某天过河的车和马数目的比为2∶9，马和人数目的比为3∶7，共收得渡费945元，这天渡过的车、马和人的数目各是多少？                                         例17：钟表问题 4点到5点之间，什么时刻时钟的两针成一直线。  例18：时间差问题 老王有一个挂钟，这天因挂钟忘了上发条而停了。他到集市购买日用品，出门前他先上紧挂钟的发条，看了当时的时间是上午6：35（时间不准），途中经过电信局，电信局的时钟是上午9：00（标准时间），到集市采购完，又经原路经过电信局，看到电信局的时钟是上午10：00，回到家里，墙上的挂钟指向上午10：35。如果老王到集市来回路上所用时间相同，那么这时的标准时间是多少？ 【点拨】：老王出门共花了4个小时， 由于老王到集市来回路上所用时间相同，时间也相同。【解答】：电信局→集市→电信局共花了1小时，可以计算出电信局到家需要3÷2=1.5小时，即此时应为11：30图示为：   家（6:35）→电信局（9:00）→集市→电信局（10:00）→家（10:35） 例19：经济问题 某商品按20%的利润定价，然后按八折出售，结果亏损了64元，这件商品的成本是多少元？ 【点拨】：利润问题常用的公式有：（1）利润=售价－成本         （2）售价=成本×（1+利润率）（3）成本=售价÷（1+利润率） （4）利润率=（售价－成本）÷成本×100%；通常假设成本为“1”【解答】：假设成本为“1” 按20%的利润定价，然后按八折，售价变成了.显然比成本“1”低了，亏损1-0.96=0.04，所以成本为：64÷0.04=1600（元） 例20： 银行利率问题 某个体商人以年利息14%的利率借别人4500元，第一年末偿还2130元，第二年以某种货物80件偿还一部分，第三年还2736元结清，他第二年末还债的货物每件价值多少元？ 【点拨】：根据“总利息=本金×利率×时间”【解答】：解： 第一年末的本利和：4500+4500×14%×1=5130（元）第二年起计息的本金：5130－2130=3000（元）第二年末的本利和：3000+3000×14%×1=3420（元）第三年的本利和为2736元，故第三年初的本金为：2736÷（1+14%）=2736÷1.14=2400（元）第二年末已还款的金额为3420－2400=1020（元）每件货物的单价为1020÷80=12.75（元） 例21： 剩余定理的应用 一个数除以5余4，除以8余3，除以11余2，求满足条件的最小的自然数。 【解答】先看大数11，11+2=13，满足最大的条件，只需要再加上11的倍数，看它是不是能除
生活数学与智巧趣题2010-10-25.ppt