初一数学竞赛系列讲座(9)
　应用题（一）
知识要点
应用题是中学数学的重要内容之一，它着重培养学生理解问题、分析问题和解决问题的能力，解应用题最主要的方法是列方程或方程组。
列方程(组)解应用题的一般步骤是：
弄清题意和题目中的数量关系，用字母表示题目中的一个未知数；
找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系；
根据这个相等关系列出方程；
解这个方程，求出未知数的值；
写出答案(包括单位名称)。
3、行程类问题
行程类问题讨论速度、时间和路程之间的相互关系。它们满足如下基本关系式： 速度(时间=路程 
4、数字类问题
   数字类问题常用十进制来表示数，然后通过相等关系列出方程。
   解数字类问题应注意数字间固有的关系，如：连续整数，一般设中间数为x，则相邻两数分别为x-1、x+1；连续奇(偶)数，一般设中间数为x，则相邻两数分别为x-2、x+2。
例题精讲
例1 从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路。一辆汽车上坡时每小时行驶20千米，下坡时每小时行驶35千米，。车从甲地开往乙地需9小时，乙地开往甲地需小时，问：甲、乙两地间的公路有多少千米？从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路？(第五届华杯赛复赛题)
分析  本题用方程来解简单自然。
解   设从甲地到乙地的上坡路为x千米，下坡路为y千米，根据题意得方程组
解这个方程组有很多种方法。例如代入消元法、加减消元法等。由于方程组系数比较特殊(第一个方程中x的系数恰好是第二个方程中y的系数，而y的系数也恰好是第二个方程中x的系数)，也可以采用如下的解法：
(1)+(2)得
             (x+y)( +)=9+
所以         x+y=              (3)
(1)-(2)得     (x-y)( -)=9-
所以          x-y=              (4)
由(3)、(4)得   x=
所以甲、乙两地间的公路长210千米，从甲地到乙地须行驶140千米的上坡路。
例2 公共汽车每隔x分钟发车一次，小宏在大街上行走，发现从背后每隔6分钟开过来一辆公共汽车，而每隔分钟迎面开来一辆公共汽车。如果公共汽车与小宏行进的速度都是均匀的，则x等于         分钟。(第六届迎春杯初赛试题)
分析：此题包括了行程问题中的相遇与追及两种情况。若设汽车速度为a米/每秒，小宏速度为b米/每秒，则当一辆汽车追上小宏时，另一辆汽车在小宏后面ax米处，它用6分钟追上小宏。另一方面，当一辆汽车与小宏相遇时，另一辆汽车在小宏前面ax米处，它经过分钟与小宏相遇。由此可列出两个方程。
解：设汽车速度为a米/每秒，小宏速度为b米/每秒，根据题意得
   两式相减得   12a=72b   即a=6b 代入可得x=5
评注：行程问题常分为同向运动和相向运动两种，相遇问题就是相向运动，而追及问题就是同向运动。解这类问题分析时往往要结合题意画出示意图，以便帮助我们直观、形象地理解题意。
例3 摄制组从A市到B市有一天的路程，计划上午比下午多走100千米到C市吃午饭。由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了400千米，傍晚才停下来休息。司机说，再走从C市到这里路程的二分之一就到达目的地了。问A、B两市相距多少千米？(第五届华杯赛决赛试题)
分析：本题条件中只有路程，没有时间和速度，因而应当仔细分析各段路程之间的关系。
解：如图，设小镇为D，傍晚
    汽车在E 休息            A        D                 C            E     B
    由已知， AD是AC的三分之一，也就是AD	=DC    又由已知，EB=CE
    两式相加得：AD+ EB=DE
因为DE=400千米，所以AD+ EB=(400=200千米，
从而A、B两市相距400+200=600千米	
评注：行程问题常通过画行程示意图来帮助我们思考。
例4 有编号为①、②、③的3条赛艇，其在静水中的速度依次为每小时v1、v2、v3千米，且满足v1  v2  v3  v  0，其中v为河流的水流速度。它们在河流上进行追逐赛，规则如下：
    (1) 3条赛艇在同一起跑线上同时出发，逆流而上，在出发的同时，有一浮标顺流而下；
    (2) 经过1小时，①、②、③号赛艇同时掉头，追赶浮标，谁先追上谁为冠军。
在整个比赛期间各艇的速度保持不变，则比赛的冠军为           
解：经过1小时，①、②、③号赛艇同时掉头，掉头时，各艇与浮标的距离为：
    S i=(vi-v)(1+v(1= vi (1(i=1、2、3)
    第i号赛艇追上浮标的时间为：(小时)
由此可见，掉头后各走1小时，同时追上浮标，所以3条赛艇并列冠军。
评注：顺流速度=静水速度+水流速度；逆流速度=静水速度-水流速度。
例5在一环行轨道上有三枚弹子同时沿逆时针方向运动。已知甲于第10秒钟时追上乙，在第30秒时追上丙，第60秒时甲再次追上乙，并且在第70秒时再次追上丙，问乙追上丙用了多少时间？(第11届希望杯竞赛培训题)
解：设甲的运动速度是  乙的运动速度是，丙的运动速度是．设环形轨道长为L。甲比乙多运动一圈用时50秒，故有－＝    ①
甲比丙多运动一圈用时40秒，故有－＝            ②
②－①可得到－＝－＝                      ③
                ④
               ⑤
甲、乙、丙初始位置时，乙、丙之间的距离＝甲、丙之间距离－甲、乙之间距离
＝（－）×30－（ －）×10； 乙追上丙所用时间＝
＝秒．所以第110秒时，乙追上丙．
评注：相遇问题的关系式是：路程和=速度和(时间；
追及问题的关系式是：追及路程=速度差(时间。
例6 一个三位数，三个数位上的数字和为17，百位上的数比十位上的数大7，个位上的数是十位上数的3倍，求这个三位数。
解：设十位上的数为x，则个位上的数为3 x，百位上的数是x+7
由题意得：3 x+x+ x+7=17，∴x=2
∴这个三位数是：100(x+7)+10 x+3 x=926
答：这个三位数是926
评注：数字问题常设出数位上的数字，再用十进制把数表示出来。
例7 两个三位整数，它们的和加1得1000，如果把大数放在小数的左边，并在这两数之间点上一个小数点，则所成的数正好等于把小数放在大数的左边，中间点一个小数点所成的数的6倍，求这两个数。
解：设大数为x，则小数为999-x，由题意得
解这个方程得：x=857,  ∴999-x=142
答：大数为857，小数为142。
例8 一辆卡车在公路上匀速行驶，起初看到里程碑上的数字为，过了1小时里程碑上的数字为，又行驶了1小时里程碑上的数字为，求每次看到的数字和卡车的速度。
分析：相等关系是前一小时走的路程=后一小时走的路程。
解：依题意得：-=-，即+=2，
所以 (10A+B)+(100A+B)=2(10B+A)，整理得6A=B
因为A、B取1到9的自然数，所以只有A=1，B=6
故3次看到的数字分别是16，61，106，卡车的速度为45千米/时。
评注：本题得到的是一个不定方程，通过A、B是1到9的自然数来求出A、B。
例9 在黑板上从1开始，写出一组连续的自然数，然后擦去了一个数，其余的平均值为，试问擦去的数是什么数？
分析：设出擦去的数，用平均值为来估计出写出的自然数，从而求出擦去的数。
解：设写出了n个自然数1，2，…，n中擦去的是k，则由题意得：
即
因为n是自然数，且n-1必须是17的倍数，所以n=69
于是由，可解得k=7，即擦去的数为7。
评注：本题运用了放缩原理来得出n的范围，从而确定自然数n的值，放缩法是数学竞赛中常用的方法。
巩固练习
选择题
1、甲、乙二人从M地同时出发去N地，甲用一半的时间以每小时a千米的速度行走，另一半的时间以每小时b千米的速度行走；乙以每小时a千米的速度行走一半的路程，另一半路程以每小时b千米的速度行走。若a≠b，则(      )先到达N地。
A、甲     B、乙     C、二人同时到达     D、不确定
2、已知游艇在静水中的航速为每小时10千米，某一旅游团乘该游艇在黄河顺水航行2小时，又用3小时返回出发地，求该团所走的航程是(     )
A、24千米     B、12千米     C、48千米     D、40千米
3、某人从A地步行到B地，当走到预定时间时，离B地还有0.5千米；若把步行速度提高25%，则可比预定时间早半小时到达B地。已知AB两地相距12.5千米，则某人原来步行的速度是(     )
A、2千米/时     B、4千米/时     C、5千米/时     D、6千米/时
4、一个两位数，十位上的数与个位上的数的和是7，若十位上的数与个位上的数对换，现在的两位数与原来的两位数的差是9，则现在的两位数是(    )
A、43     B、34     C、25     D、52
5、在由两个不同数字组成的所有两位数中，每个两位数被其两个数字之和除时，所得的商的最小值是(    )
A、1.5     B、1.9     C、3.25     D、4.375
6、一个插入一个一位数(包括0)，就变成一个三位数，如：72中间插入6后变成了762。有些两位数中间插入某个一位数后变成的三位数，是原来两位数的9倍，这样的两位数有(      )   (第六届《祖冲之杯》数学
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