2009年全国中考数学分类试题---综合题压轴题汇编2
教师答案版
1（09广东广州）25.（本小题满分14分）
如图13，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-1），ΔABC的面积为。
（1）求该二次函数的关系式；
（2）过y轴上的一点M（0，m）作y轴上午垂线，若该垂线与ΔABC的外接圆有公共点，求m的取值范围；
（3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ABCD为直角梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。
解：（1）OC=1,所以,q=-1,又由面积知0.5OC×AB=,得AB=
设A（a,0）,B(b,0)
AB=b-a==，解得p=,但p 0,所以p=。
所以解析式为：
（2）令y=0，解方程得，得,所以A(,0),B(2,0),在直角三角形AOC中可求得AC=,同样可求得BC=,，显然AC2+BC2=AB2,得三角形ABC是直角三角形。AB为斜边，所以外接圆的直径为AB=,所以.
（3）存在，AC⊥BC,①若以AC为底边，则BD//AC,易求AC的解析式为y=-2x-1,可设BD的解析式为y=-2x+b，把B(2,0)代入得BD解析式为y=-2x+4，解方程组得D（,9）
②若以BC为底边，则BC//AD,易求BC的解析式为y=0.5x-1,可设AD的解析式为y=0.5x+b，把 A(,0)代入得AD解析式为y=0.5x+0.25，解方程组得D()
综上，所以存在两点：（,9）或()。
2（09广东深圳）22．（9分）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB.
（1）求点B的坐标；
（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.
（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由.
解：B（1，）
设抛物线的解析式为y=ax(x+a)，代入点B（1, ），得，因此
如图，抛物线的对称轴是直线x=—1当点C位于对称轴与线段AB的交点时，△BOC的周长最小.设直线AB为y=kx+b.所以，因此直线AB为，当x=－1时，，因此点C的坐标为（－1，）.
如图，过P作y轴的平行线交AB于D.
当x=－时，△PAB的面积的最大值为，此时.如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P.
（1）连结PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；
（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？
23. 解：（1）⊙P与x轴相切.
     ∵直线y=－2x－8与x轴交于A（4，0）与y轴交于B（0，－8）OA=4，OB=8.由题意，OP=－k，∴PB=PA=8+k.
在Rt△AOP中，k2+42=(8+k)2∴k=－3∴OP等于⊙P的半径，⊙P与x轴相切.
（2）设⊙P与直线l交于C，D两点，连结PC，PD当圆心P在线段OB上时,作PE⊥CD于E.
∵△PCD为正三角形∴DE=CD=，PD=3，
 ∴PE=.
∵∠AOB=∠PEB=90°， ∠ABO=∠PBE，
∴△AOB∽△PEB，
∴，
∴
∴，
∴，
∴.
当圆心P在线段OB延长线上时,同理可得P(0,－－8)∴k=－－8∴当k=－8或k=－－8时，以P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形.
（1）如图1，圆心接中，，、为的半径，于点，于点
求证：阴影部分四边形的面积是的面积的．
（2）如图2，若保持角度不变，
求证：当绕着点旋转时，由两条半径和的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是的面积的．
20．证明：（1）如图1，连结，
因为点是等边三角形的外心，
所以．	2分
，
因为，
所以．	4分
（2）解法一：
连结和，则，，	5分
不妨设交于点，交于点，
，
．	7分
在和中，
，	8分
．	9分
解法二：
不妨设交于点，交于点，
作，垂足分别为，	5分
在四边形中，，
，	6分
即．
又，
．	7分
，
，
，	8分
．	9分
5（09广东中山）22．（本题满分9分）正方形边长为4，、分别是、上的两个动点，当点在上运动时，保持和垂直，
（1）证明：；
（2）设，梯形的面积为，求与之间的函数关系式；当点运动到什么位置时，四边形面积最大，并求出最大面积；
（3）当点运动到什么位置时，求的值．
22．解：（1）在正方形中，，
，
，
．
在中，，
，
．	2分
（2），
，
，	4分
，
当时，取最大值，最大值为10．	6分
（3），
要使，必须有，	7分
由（1）知，
，
当点运动到的中点时，，此时．	9分
（其它正确的解法，参照评分建议按步给分）
6（09贵州安顺）27、（本题满分12分）
如图，已知抛物线与交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与轴交于点B(0，3)。
求抛物线的解析式；
设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积；
△AOB与△DBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。
27.（本题满分12分）
解：1）∵抛物线与轴交于点（0，3），
∴设抛物线解析式为	(1′)
根据题意，得，解得
∴抛物线的解析式为	(5′)
(2)(5′)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）设对称轴与x轴的交点为F
四边形ABDE的面积=
=
==9（3）相似
如图，BD=BE=
DE= ∴, 
即： ,所以是直角三角形
,且,
∽                                (2′)
7（09贵州黔东南）26、（12分）已知二次函数。
（1）求证：不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点。
（2）设a 0，当此函数图象与x轴的两个交点的距离为时，求出此二次函数的解析式。
（3）若此二次函数图象与x轴交于A、B两点，在函数图象上是否存在点P，使得△PAB的面积为，若存在求出P点坐标，若不存在请说明理由。
26题、解（1）因为△=
所以不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点。…………（2分）
（2）设x1、x2是的两个根，则，，因两交点的距离是，所以。…………（4分）
即：
变形为：……………………………………（5分）
所以：
整理得：
解方程得：
又因为：a 0
所以：a=－1
所以：此二次函数的解析式为…………………………（6分）
（3）设点P的坐标为，因为函数图象与x轴的两个交点间的距离等于，所以：AB=……………………………………………………………………（8分）
所以：S△PAB=
所以：
即：，则…………………………………（10分）
当时，，即
解此方程得：=－2或3
当时，，即
解此方程得：=0或1……………………………………（11分）
综上所述，所以存在这样的P点，P点坐标是(－2,3), (3,3), (0, －3)或(1, －3)。…（12分）
8（09河北省）23．（本小题满分10分）
如图13-1至图13-5，⊙O均作无滑动滚动，⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4均表示⊙O与线段AB或BC相切于端点时刻的位置，⊙O的周长为c．
阅读理解：
（1）如图13-1，⊙O从⊙O1的位置出发，沿AB滚动到
⊙O2的位置，当AB?=?c时，⊙O恰好自转1周．
（2）如图13-2，∠ABC相邻的补角是n°，⊙O在
∠ABC外部沿A-B-C滚动，在点B处，必须由
⊙O1的位置旋转到⊙O2的位置，⊙O绕点B旋
转的角∠O1BO2 = n°，⊙O在点B处自转周．
实践应用：
（1）在阅读理解的（1）中，若AB?=?2c，则⊙O自
转      周；若AB?=?l，则⊙O自转      周．在
阅读理解的（2）中，若∠ABC?= 120°，则⊙O
在点B处自转      周；若∠ABC?= 60°，则⊙O
在点B处自转       周．
（2）如图13-3，∠ABC=90°，AB=BC=c．⊙O从
⊙O1的位置出发，在∠ABC外部沿A-B-C滚动
到⊙O4的位置，⊙O自转      周．
拓展联想：
（1）如图13-4，△ABC的周长为l，⊙O从与AB相切于点D的位置出发，在△ABC外部，按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，⊙O自转了多少周？请说明理由．（2）如图13-5，多边形的周长为l，⊙O从与某边相切于
点D的位置出发，在多边形外部，按顺时针方向沿多
边形滚动，又回到与该边相切于点D的位置，直接写
出⊙O自转的周数．
23．解：实践应用
（1）2；．；．
（2）．
拓展联想
（1）∵△ABC的周长为l，∴⊙O在三边上自转了周． 
又∵三角形的外角和是360°，
∴在三个顶点处，⊙O自转了（周
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