2009年全国中考数学分类试题---综合题压轴题汇编4
教师答案版
1（09湖北鄂州）27．如图所示，将矩形OABC沿AE折叠，使点O恰好落在BC上F处，以CF为边作正方形CFGH，延长BC至M，使CM＝｜CF—EO｜，再以CM、CO为边作矩形CMNO
(1)试比较EO、EC的大小，并说明理由
(2)令，请问m是否为定值？若是，请求出m的值；若不是，请说明理由
(3)在(2)的条件下，若CO＝1，CE＝，Q为AE上一点且QF＝，抛物线y＝mx2+bx+c经过C、Q两点，请求出此抛物线的解析式.
 (4)在(3)的条件下，若抛物线y＝mx2+bx+c与线段AB交于点P，试问在直线BC上是否存在点K，使得以P、B、K为顶点的三角形与△AEF相似?若存在，请求直线KP与y轴的交点T的坐标?若不存在，请说明理由。
27、（1）EO＞EC，理由如下：
由折叠知，EO=EF，在Rt△EFC中，EF为斜边，∴EF＞EC， 故EO＞EC …2分
（2）m为定值
∵S四边形CFGH=CF2=EF2－EC2=EO2－EC2=(EO+EC)(EO―EC)=CO·(EO―EC)
S四边形CMNO=CM·CO=|CE―EO|·CO=(EO―EC) ·CO
∴      ……………………………………………………4分
（3）∵CO=1，  ∴EF=EO=
∴cos∠FEC=   ∴∠FEC=60°，
∴
∴△EFQ为等边三角形，      …………………………………………5分
作QI⊥EO于I，EI=，IQ=
∴IO=  ∴Q点坐标为   ……………………………………6分
∵抛物线y=mx2+bx+c过点C(0，1)， Q ，m=1
∴可求得，c=1
∴抛物线解析式为       ……………………………………7分
（4）由（3），
当时，＜AB
∴P点坐标为    …………………8分
∴BP=AO
方法1：若△PBK与△AEF相似，而△AEF≌△AEO，则分情况如下：
①时，∴K点坐标为或
②时，      ∴K点坐标为或…………10分
故直线KP与y轴交点T的坐标为
      …………………………………………12分
方法2：若△BPK与△AEF相似，由（3）得：∠BPK=30°或60°，过P作PR⊥y轴于R，则∠RTP=60°或30°
①当∠RTP=30°时，
②当∠RTP=60°时，
∴   ……………………………12分
2（09湖北恩施）七、解答题(本题满分10分)
23.恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世.著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB=50km,A、B到直线X的距离分别为10km和40km,要在沪渝高速公路旁修建一服务区P,向A、B两景区运送游客.小民设计了两种方案，图10（1）是方案一的示意图(AP与直线X垂直，垂足为P),P到A、B的距离之和S1=PA+PB；  图10（2）是方案二的示意图(点A关于直线X的对称点是A'，连接BA'交直线X于点P),P到A、B的距离之和S2=PA+PB.   
(1).求S1 、S2 ,并比较它们的大小.
(2).请你说明S2=PA+PB的值为最小.
(3).拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，
建立如图所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km,请你在X
旁和Y旁各修建一服务区P、Q,使P、A、B、Q 组成的四边形
的周长最小.并求出这个最小值.
23.  解:⑴图10（1）中过B作BC⊥AP,垂足为C,则PC=40,又AP=10,
∴AC=30                  ．                 1分
在Rt△ABC 中，AB=50 AC=30   ∴BC=40  
∴ BP=
S1=                              2分
⑵图10（2）中，过B作BC⊥AA′垂足为C，则A′C=50，
又BC=40
∴BA'=
由轴对称知：PA=PA'
∴S2=BA'=                             3分 
∴﹥                                   4分
(2)如 图10（2），在公路上任找一点M,连接MA,MB,MA'，由轴对称知MA=MA'
∴MB+MA=MB+MA'﹥A'B
∴S2=BA'为最小                                 7分
（3）过A作关于X轴的对称点A', 过B作关于Y轴的对称点B'，
连接A'B',交X轴于点P, 交Y轴于点Q,则P,Q即为所求       ８分
过A'、 B'分别作X轴、Y轴的平行线交于点G,
A'B'=
∴所求四边形的周长为                    10分
3（09湖北恩施）八、解答题(本题满分12分)
24.如图，在中，∠°，, 的面积为，点为边上的任意一点(不与、重合)，过点作∥，交于点．设以为折线将△翻折，所得的与梯形重叠部分的面积记为y.
（1）．用x表示?ADE的面积;
（2）．求出﹤≤时y与x的函数关系式；
（3）．求出﹤﹤时y与x的函数关系式；
（4）．当取何值时，的值最大？最大值是多少？
24. 解:(1)  ∵ DE∥BC  ∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C 
           ∴△ADE∽△ABC  ∴
即                                          3分
(2)∵BC=10  ∴BC边所对的三角形的中位线长为5
∴当0﹤ 时                          6分
（3）﹤10时，点A'落在三角形的外部,其重叠部分为梯形
∵S△A'DE=S△ADE=
 ∴DE边上的高AH=AH'=
由已知求得AF=5
∴A'F=AA'-AF=x-5
由△A'MN∽△A'DE知
∴              9分
（4）在函数中
∵0﹤x≤5
∴当x=5时y最大为：                          10分
    在函数中
当时y最大为：                     11分
∵﹤
∴当时，y最大为：                         12分
4（09湖北黄冈）20．(满分14分)如图,在平面直角坐标系xoy中,抛物线与x轴的交点为点B,过点B作x轴的平行线BC,交抛物线于点C,连结AC．现有两动点P,Q分别从,C两点同时出发,点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动,点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动,点P停止运动时,点Q也同时停止运动,线段OC,PQ相交于点D,过点D作DE∥OA,交CA于点E,射线QE交x轴于点F．设动点P,Q移动的时间为t(单位:秒)
(1)求A,B,C三点的坐标和抛物线的顶点的坐标;
(2)当t为何值时,四边形PQCA为平行四边形?请写出计算过程;
(3)当0＜t＜时,△PF的面积是否总为定值?若是,求出此定值,若不是,请说明理由;
(4)当t为何值时,△PF为等腰三角形?请写出解答过程．20.解：（1），令得，
∴或∴；………………………1′
在中，令得即；………………2′
由于BC∥OA，故点C的纵坐标为－10，由得或
即且易求出顶点坐标为……………………………………3′
于是，，顶点坐标为。…………………4′
（2）若四边形PQCA为平行四边形，由于QC∥PA。故只要QC=PA即可，而故得；……………………7′
（3）设点P运动秒，则，，说明P在线段OA上，且不与点OA、重合，
由于QC∥OP知△QDC∽△PDO，故
∴∴…………………9′
又点Q到直线PF的距离，∴，
于是△PQF的面积总为90。…………………………10′
（4）由上知，，。构造直角三角形后易得
，
若FP=PQ，即，故，
∵∴∴……………………11′
若QP=QF，即，无的满足条件；……………12′
若PQ=PF，即，得，∴或都不满足，故无的满足方程；………………………13′
综上所述：当时，△PQR是等腰三角形。…………………………14′
5（09湖北黄石）24、（本题满分9分）
如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连结AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF。
解答下列问题：
（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为         ，数量关系为         。
②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？
（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°点D在线段BC上运动。
试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由。（画图不写作法）
（3）若AC=4，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值。
24、解：（1）①CF⊥BD，CF=BD  
②成立，理由如下：
∵∠FAD=∠BAC=90°   ∴∠BAD=∠CAF
又  BA=CA      AD=AF
∴△BAD≌△CAF
∴CF=BD     ∠ACF=∠ACB=45°
∴∠BCF=90°     ∴CF⊥BD                       
[学子教育]2009年全国中考数学压轴题4(修订版).doc