2009年全国中考数学分类试题---综合题压轴题汇编5
教师答案版
1（09湖南长沙）26．（本题满分10分）
如图，二次函数（）的图象与轴交于两点，与轴相交于点．连结两点的坐标分别为、，且当和时二次函数的函数值相等．
（1）求实数的值；
（2）若点同时从点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为秒时，连结，将沿翻折，点恰好落在边上的处，求的值及点的坐标；
（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点，使得以为项点的三角形与相似？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
2（09湖南衡阳）26、（本小题满分9分）
如图12，直线与两坐标轴分别相交于A、B点，点M是线段AB上任意一点（A、B两点除外），过M分别作MC⊥OA于点C，MD⊥OB于D．
（1）当点M在AB上运动时，你认为四边形OCMD的周长是否发生变化？并说明理由；
（2）当点M运动到什么位置时，四边形OCMD的面积有最大值？最大值是多少？
（3）当四边形OCMD为正方形时，将四边形OCMD沿着x轴的正方向移动，设平移的距离为，正方形OCMD与△AOB重叠部分的面积为S．试求S与的函数关系式并画出该函数的图象．
解：（1）设点M的横坐标为x，则点M的纵坐标为－x+4（0 x 4，x 0，－x+4 0）；
则：MC＝∣－x+4∣＝－x+4，MD＝∣x∣＝x；
∴C四边形OCMD＝2（MC+MD）＝2（－x+4+x）＝8
∴当点M在AB上运动时，四边形OCMD的周长不发生变化，总是等于8；
（2）根据题意得：S四边形OCMD＝MC·MD＝（－x+4）· x＝－x2+4x＝－(x-2)2+4
∴四边形OCMD的面积是关于点M的横坐标x（0 x 4）的二次函数，并且当x＝2，即当点M运动到线段AB的中点时，四边形OCMD的面积最大且最大面积为4；
（3）如图10（2），当时，；
如图10（3），当时，；
∴S与的函数的图象如下图所示：
3（09湖南娄底）25．（本小题12分）如图11，在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AC=6，另有一直角梯形DEFH
（HF∥DE，∠HDE=90°）的底边DE落在CB上，腰DH落在CA上，且DE=4，∠DEF=∠CBA，AH∶AC=2∶3
（1）延长HF交AB于G，求△AHG的面积.
（2）操作：固定△ABC，将直角梯形DEFH以每秒1个
单位的速度沿CB方向向右移动，直到点D与点B
重合时停止，设运动的时间为t秒，运动后的直角梯
形为DEFH′（如图12）.
探究1：在运动中，四边形CDH′H能否为正方形？若能，
请求出此时t的值；若不能，请说明理由.
探究2：在运动过程中，△ABC与直角梯形DEFH′重叠
部分的面积为y，求y与t的函数关系.
25．（12分）
解：（1）∵AH∶AC=2∶3，AC=6
∴AH=AC=×6=4
又∵HF∥DE，∴HG∥CB，∴△AHG∽△ACB…………………………1分
∴=，即=，∴HG=…………………………………2分
∴S△AHG=AH·HG=×4×=……………………………………3分
（2）①能为正方形…………………………………………………………………4分
∵HH′∥CD，HC∥H′D，∴四边形CDH′H为平行四边形
又∠C=90°，∴四边形CDH′H为矩形…………………………………5分
又CH=AC-AH=6-4=2
∴当CD=CH=2时，四边形CDH′H为正方形
此时可得t=2秒时，四边形CDH′H为正方形…………………………6分
②（Ⅰ）∵∠DEF=∠ABC，∴EF∥AB
∴当t=4秒时，直角梯形的腰EF与BA重合.
当0≤t≤4时，重叠部分的面积为直角梯形DEFH′的面积.…………7分
过F作FM⊥DE于M，=tan∠DEF=tan∠ABC===
∴ME=FM=×2=，HF=DM=DE-ME=4-=
∴直角梯形DEFH′的面积为（4+）×2=
∴y=………………………………………………………………8分
（Ⅱ）∵当4＜t≤5时，重叠部分的面积为四边形CBGH的面积-矩形CDH′H的面积.…………………………………………………………9分
而S边形CBGH=S△ABC-S△AHG=×8×6-=
S矩形CDH′H=2t
∴y=-2t……………………………………………………………………10分
（Ⅲ）当5＜t≤8时，如图，设H′D交AB
于P.
BD=8-t
又=tan∠ABC=
∴PD=DB=（8-t）………………11分 ∴重叠部分的面积y=S
△PDB=PD·DB
=·（8-t）（8-t）
=（8-t）2=t2-6t+24
∴重叠部分面积y与t的函数关系式：
y=（0≤t≤4）
-2t（4＜t≤5）
t2-6t+24（5＜t≤8）
（注：评分时，考生未作结论不扣分）
4（09湖南益阳）六、解答题：本题满分14分．
20.阅读材料：
如图12-1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.
解答下列问题：
如图12-2，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B.
(1)求抛物线和直线AB的解析式；
(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及；
(3)是否存在一点P，使S△PAB=S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.
六、解答题：本题满分14分．
20．解：(1)设抛物线的解析式为： 1分
把A（3,0）代入解析式求得
所以 3分
设直线AB的解析式为：
由求得B点的坐标为 4分
把，代入中
解得：
所以 6分
(2)因为C点坐标为(１,4)
所以当x＝１时，y1＝4，y2＝2
所以CD＝4-2＝2 8分
(平方单位) 10分
(3)假设存在符合条件的点P，设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h，
则 12分
由S△PAB=S△CAB
得：
化简得：
解得，
将代入中，
解得P点坐标为 14分
5（09湖南株洲）23．（满分1分）为直角三角形，，,点、在轴上，点坐标为（，）（），线段与轴相交于点，以（1，0）为顶点的抛物线过点、．
（1）求点的坐标（用表示）；
（2）求抛物线的解析式；
（3）设点为抛物线上点至点之间的一动点，连结并延长交于点，连结 并延长交于点，试证明：为定值．
23．（1）由可知，，又△ABC为等腰直角三角形，∴，，所以点A的坐标是（）. ………………… 3分
（2）∵ ∴，则点的坐标是（）.
又抛物线顶点为，且过点、，所以可设抛物线的解析式为：，得：
解得 ∴抛物线的解析式为 ………7分
（3）过点作于点，过点作于点，设点的坐标是，则，.
∵ ∴∽ ∴ 即，得
∵ ∴∽ ∴ 即，得
又∵
∴
即为定值8. ……………………12分
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6
1
1
D
B
A
y
O
C
x
图12-2
A2
图12-1
a
h
水平宽
铅垂高
C
B
……………………………………12分
的函数关系式并画出该函数的图象．
S
·
4
·
2
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