2009年全国中考数学分类试题---综合题压轴题汇编7
教师答案版
1（09四川成都）
四、(共12分)
28．在平面直角坐标系xy中，已知抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点的左侧)，与y轴交于点C，其顶点为M,若直线MC的函数表达式为,与x轴的交点为N，且COS∠BCO。
(1)求此抛物线的函数表达式；
    (2)在此抛物线上是否存在异于点C的点P，使以N、P、C为顶点的三角形是以NC为一P的坐标：若不存在，请说明理由；
    (3)过点A作x轴的垂线，交直线MC于点Q.若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下最多可平移多少个?
2（09四川凉山）26．如图，已知抛物线经过，两点，顶点为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将绕点顺时针旋转90°后，点落到点的位置，将抛物线沿轴平移后经过点，求平移后所得图象的函数关系式；
（3）设（2）中平移后，所得抛物线与轴的交点为，顶点为，若点在平移后的抛物线上，且满足的面积是面积的2倍，求点的坐标．
26．解：（1）已知抛物线经过，
   解得
所求抛物线的解析式为．	2分
（2），，
可得旋转后点的坐标为	3分
当时，由得，
可知抛物线过点
将原抛物线沿轴向下平移1个单位后过点．
平移后的抛物线解析式为：．	5分
（3）点在上，可设点坐标为
将配方得，其对称轴为．	6分
①当时，如图①，
此时
点的坐标为．	8分
②当时，如图②
同理可得
此时
点的坐标为．
综上，点的坐标为或．	10分
3（09四川泸州）8．(本题满分12分)
    如图12，已知二次函数 的图象与x轴的正半轴相交于点A、B，
与y轴相交于点C，且．
    (1)求c的值；
    (2)若△ABC的面积为3，求该二次函数的解析式；    
    (3)设D是(2)中所确定的二次函数图象的顶点，试问在直线AC上是否存在一点P使△PBD的周长最小?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
4（09四川内江）二、解答题（本大题共3个小题，每小题10分，共30分．解答题必须写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤．）
5．（10分）阅读材料：
如图，中，，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为，腰上的高为，连接AP，则．
即：
（定值）．
（1）理解与应用
如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E为对角线BD上的一点，且，F为CE上一点，于M，于N，试利用上述结论求出的长．
（2）类比与推理
如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：
已知等边内任意一点P到各边的距离分别为，等边的高为，试证明（定值）．
（3）拓展与延伸
若正边形内部任意一点P到各边的距离为，请问是是否为定值，如果是，请合理猜测出这个定值．
5（09四川内江）7．（10分）
如图所示，已知点，，，且，，抛物线经过A、B、C三点，点是抛物线与直线的一个交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）对于动点，求的最小值；
（3）若动点在直线上方的抛物线上运动，求的边AP上的高的最大值．
6（09四川南充）
八、（本大题8分）
21．如图9，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点．
（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；
（2）把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点，求的值和这个一次函数的解析式；
（3）第（2）问中的一次函数的图象与轴、轴分别交于C、D，求过A、B、D三点的二次函数的解析式；
（4）在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点E，使四边形OECD的面积与四边形OABD的面积S满足：？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．
八、（本大题8分）
21．解：（1）设正比例函数的解析式为，
因为的图象过点，所以
，解得．
这个正比例函数的解析式为．	（1分）
设反比例函数的解析式为．
因为的图象过点，所以
，解得．
这个反比例函数的解析式为．	（2分）
（2）因为点在的图象上，所以
，则点．	（3分）
设一次函数解析式为．
因为的图象是由平移得到的，
所以，即．
又因为的图象过点，所以
，解得，
一次函数的解析式为．	（4分）
（3）因为的图象交轴于点，所以的坐标为．
设二次函数的解析式为．
因为的图象过点、、和，
所以	（5分）          解得
这个二次函数的解析式为．	（6分）
（4）交轴于点，点的坐标是，
如图所示，
．
假设存在点，使．
四边形的顶点只能在轴上方，，
．
，．	（7分）
在二次函数的图象上，
．
解得或．
当时，点与点重合，这时不是四边形，故舍去，
点的坐标为．	（8分）
7（09四川遂宁）25.如图，二次函数的图象经过点D(0，)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB的长为6.
⑴求二次函数的解析式；
⑵在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；
⑶在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
25.⑴设二次函数的解析式为：y=a(x-h)2+k
∵顶点C的横坐标为4，且过点(0，)
∴y=a(x-4)2+k         ………………①
又∵对称轴为直线x=4，图象在x轴上截得的线段长为6
∴A(1，0)，B(7，0)
∴0=9a+k  ………………②
由①②解得a=，k=
∴二次函数的解析式为：y=(x-4)2－
⑵∵点A、B关于直线x=4对称
∴PA=PB
∴PA+PD=PB+PD≥DB
∴当点P在线段DB上时PA+PD取得最小值
∴DB与对称轴的交点即为所求点P
设直线x=4与x轴交于点M
∵PM∥OD，∴∠BPM=∠BDO，又∠PBM=∠DBO
∴△BPM∽△BDO
∴  ∴
∴点P的坐标为(4，)
⑶由⑴知点C(4，)，
又∵AM=3，∴在Rt△AMC中，cot∠ACM=，
∴∠ACM=60o，∵AC=BC，∴∠ACB=120o
①当点Q在x轴上方时，过Q作QN⊥x轴于N
如果AB=BQ，由△ABC∽△ABQ有
BQ=6，∠ABQ=120o，则∠QBN=60o
∴QN=3，BN=3，ON=10，
此时点Q(10，)，
如果AB=AQ，由对称性知Q(-2，)
②当点Q在x轴下方时，△QAB就是△ACB，
此时点Q的坐标是(4，)，
经检验，点(10，)与(-2，)都在抛物线上
综上所述，存在这样的点Q，使△QAB∽△ABC
点Q的坐标为(10，)或(-2，)或(4，)．
8（09四川宜宾）24．(本题满分l2分)
xoy中，等腰梯形OABC的下底边OA在x轴的正半轴上，BC∥OA，OC=AB．tan∠BA0=的坐标为(7，4)．
(1)求点A、C的坐标；
(2)求经过点0、B、C的抛物线的解析式；
(3)在第一象限内(2)中的抛物线上是否存在一点P，使得经过点P且与等腰梯形一?若存在，请求出点P的横坐标；若不存在，
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10
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A
B
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B
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F
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C
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P
B
C
A
图12
N
图②
D1
B1
D
O
A
B
C
x
y
图①
D1
B1
D
N
O
A
B
C
x
y
（第26题）
D
O
A
B
x
[学子教育]2009年全国中考数学压轴题7(修订版).doc