中考专题复习二十 方程型综合题
【简要分析】
方程是贯穿初中代数的一条知识主线，方程型综合题又是中考命题的热点.中考中的方程型综合题，主要有两类题：一类是与一元二次方程根的判别式、根与系数有关的问题.另一类是与几何相结合的问题.
【典型考题例析】
例1关于x的方程x2 +mx +m(1=0的两个实数根为x1、x2，且x12+x22=5，求实数m的值.
分析与解答  本例主要综合考查一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系的应用以及代数式的恒等变形等.
由题意，得x1 +x2 =(m，x1x2 =m(1.
∵x12 +x22 =(x1 +x2)2 (2x1x2=5，
∴((m)2 (2(m(1)=5.解得，m1=3，m2=(1.
∵⊿=m2 (4(m(1)=(m(2)2≥0，
∴m=3或(1.
例2 已知：关于x的方程mx2 (14x (7=0有两个实数根x1和x2，关于y的方程y2 (2(n(1)y+n2 (2n=0有两个实数根y1和y2，且(2≤y1≤y2≤4.当时，求m的取值范围. 
分析与解答  ∵关于x的方程mx2 (14x(7=0有两个数根x1和x2，
∴⊿1=((14)2+28m≥0，且m(0. 解得m≥(7且m(0. ……①
∵关于y的方程y2 (2(n(1)y+n2 (2n=0有两个实数根y1和y2，
∴⊿2 =[ (2(n(1)]2(4(n2 (2n)=4. 
∴y==n(1(1.即y1 =n(2，y2 =n. 
∵(2≤y1 y2≤4，∴(2≤n(2 n≤4.解得0≤n≤4.由x1 +x2 =，x1x2=(. 
∵，
∴(((m)+2[2(n(2)(n2]+14=0.
整理，得m=2n2(4n(6.
由二次函数m=2n2(4n(6的图象(图2-4-21)可得，当0≤n≤4时，(8≤m≤10.……②
由①、②得m的取值范围是(7≤m≤10且m(0.
   说明  ⑴本例综合考查了一元二次方程的概念、判别式、求根公式、根与系数的关系等重要的基础知识的掌握，并涉及到二函数及其图象的有关内容，综合性极强，需要考生透彻掌握代数的基础知识与相互联系.
⑵运用一元二次方程根的判别式时，要注意二次项系数不为零.
例3 如图，2-4-22，∠B=90(，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，若AD=2，且AE、AB的长是关于x的方程x2 (8x + k=0的两个实数根. ⑴求⊙O的半径.⑵求CD的长.
 分析与解答  本题是一道方程与几何相结合的考题，综合考查了切割线定理、根与系的关系、一元二次方程的解法、勾股定理等知识.
⑴∵AD是⊙O的切线，∴AD2 =AE·AB.
又AD=2，∴AE·AB=12.
∵AE、AB的长是方程x2 (8x +k =0的两个实数根，
∴AE·AB=k，∴k=12.
把k =12代入方程x2 (8x +k =0，解得x1 =2，x2 =6. 
∴AE=2，AB=6. 
∴⊙O的半径为(AB(AE)=2.
⑵∵CB⊥AB，AB经过圆心O，
∴CB切⊙O于点B，
∴CD=CB.
在Rt△ABC中，设CD=x，
由勾股定理得AB2 +BC2 =AC2，
∴62 +x2 =(2+x)2，解得x =2.∴CD=2.
【提高训练】
1． 已知关于x的方程kx2 +2(k+1)x+(k(1)=0.
⑴若此方程有两个实数根，求k的取值范围.
⑵k为何值时，此方程的两根之和等于两根之积？
2． 已知：关于x的方程(a +2)x2 (2ax +a =0有两个不相等的实数根x1和x2，并且抛物线y=x2((2a+1)x+2a (5与x轴的两个交点分别位于点(2，0)的两旁. 
⑴求实数a的取值范围.⑵当| x1 | + | x2 | =2时，求a的值.
3．如图2-4-23，以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O，与斜边AC交于D，E是BC边上的中点，连结DE. ⑴DE与半圆O相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明理由；⑵若AD、AB的长是方程x2－10x+24=0的两个根，求直角边BC的长.
答案:
1. ⑴k≥(且k(0   ⑵ k=(  
2. ⑴( a 0  ⑵a=(1  
3.  ⑴相切，证明略  
⑵ 3
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图2-4-23
·
O
A
D
E
B
C
图2-4-22
·
O
D
C
B
E
图2-4-21
A

020方程型综合题（Eon）.doc