中考专题复习二一 函数型综合题
【简要分析】
中考中的函数综合题，除了灵活考查相关的基础知识之外，特别注重考查分析转化能力、数形结合思想运用能力以及探究能力.此类综合题，不仅综合了《函数及其图象》一章的基本知识，还涉及方程(组)、不等式(组)及几何的许多知识点，是中考命题的热点.善于根据数形结合的特点，将函数问题、几何问题转化为方程(或不等式)问题，往往是解题的关键.
【典型考题例析】
例1 已知二次函数y=ax2 +bx+c(a(0)的图象与y轴相交于点(0，(3)，并经过点((2，5)，它的对称轴是x=1，如图2-2-24为函数图象的一部分.
⑴求函数解析式，写出函数图象的顶点坐标；
⑵在原题图上，画出函数图象的其余部分；
⑶如果点P(n，(2n)在上述抛物线上，求n的值.
分析与解答  ⑴根据题意，得
 解之，得
∴二次函数的解析式为y=x2 (2x(3.
将y=x2 (2x(3配方得y=(x(1)2(4，故图象的顶点是(1，(4).
⑵画出函图象的其余部分如图2-4-25所示.
⑶依题意，得
n2 (2n(3=(2n，解得n=(.
说明  本例是一道纯函数知识的综合题，主要考查了二次函数的解析式、顶点坐标的求法以及利用二次函数图象的对称性作二次函数图象的方法.
如图2-4-26，二次函数y=ax2 + bx + c(a(0)的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为((1，0).点C(0，5)，D(1，8)在抛物线线上，M为抛物线的顶点.
⑴求抛物线的解析式.
⑵求△MCB的面积.
分析与解答  第⑴问，已知了抛物线上三个点的坐标，利用待定系数可求出其解析式. 第⑵问,△MCB不是一个特殊三角形，我们可利用面积分割的方法转化成特殊图形的面积求解.
⑴设抛物线的解析式为y =ax2 +bx +c，
根据题意，得 解之，得
∴所求抛物线的解析式为y=(x2 +4x +5.
⑵∵C点的坐标为(0，5).
∴OC=5.令y=0，则(x2+4x +5 =0，x1 =(1，x2 =5.
∴B点坐标为(5，0).∴OB=5.
∵y =(x2 +4x +5 =((x(2)2 +9.
∴顶点M的坐标为(2，9).
过点M作MN⊥AB于点N，则ON=2，MN=9. 
∴S△MCB =S梯形OCMN +S△BNM(S△OBC =(5+9)(2 +(9((5(2) ((5(5=15.
说明  以面积为纽带，以函数图象为背景，结合常见的平面几何图形而产生的函数图象与图形面积相结合型综合题是中考命题的热点.解决这类问题的关键是把相关线段的长与恰当的点的坐标联系起来，必要时要会灵活将待求图形的面积进行分割，转化为特殊几何图形的面积求解.
例3  已知抛物线y=(x2 +(m(4)x +2m +4与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)，与y轴交于点C，且x1、x2满足条件x1   x2，x1 + 2x2 =0.
⑴求抛物线的解析式.
⑵能否找到直线y=kx +b与抛物线交于P、Q两点，使y轴恰好平分△CPQ的面积，求出k、b所满足的条件.     
分析与解答  ⑴∵△=(m(4)2 +4(2m +4)=m2 +32 0，
∴对一切实数m，抛物线与x轴恒有两个交点.
由根与系数的关系得x1 +x2 =m (4…①，
x1·x2=((2m+4)…②，
由已知有x1 +2x2 =0…③.
③(①，得x2 =4(m，x1 =(2x2 =2m(8.
由②得(2m(8)(4(m)=((2m+4).化简，得m2 (9m +14=0，
解得m1 =2，m2=7.
当m1 =2时，x1 =(4，x2 =2，满足x1 x2. 
当m2 =7时，x1 =6，x2 =(3，不满足x1 x2.
∴抛物线的解析式为y=(x2 (2x +8.
⑵如图2-4-22，设存在直线y=kx +b与抛物线交于点P、Q，y轴平分△CPQ的面积，设点P的横坐标为xP，点Q的横坐标为xQ，直线与y轴交于点E.
∵S△PCE =S△QCE =，
∴|xP| =|xQ|.由y轴平分△CPQ的面积得点P、Q在y轴的两侧，即xP =(xQ，
∴xP + xQ =0.
由得x2 +(k+2)x +b(8=0.
又∵xP、xQ是方程x2 +(k+2)x +b (8=0的两根，
∴xP +xQ =((k+2)=0，
∴k=(2.又直线与抛物线有两个交点，
∴8(b 0，∴b 8.
∴当k=(2且b 8时，直线y=kx +b与抛物线的交点P、Q，使y轴能平分△CPQ的面积.故y=(2x +b(b 0).
说明  本题是一道方程与函数、几何相结合的综合性考题.这类题主要是以函数为主线，建立函数图象及性质、方程的有关理论的综合.解题时要注意运用数形结合思想，将图象信息与方程的代数信息相互转化.例如：二次函数与x轴有交点，可以转化为一元二次方程有实数根，并且其交点的横坐标，就是相应一元二次方程的解.点在函数图象上，点的坐标就满足该函数解析式等.
例4  已知：如图2-4-28，抛物线y=ax2 +bx +c经过原点(0，0)和A(1，(3)、B((1，5)两点.⑴求抛物线的解析式.⑵设抛物线与x轴的另一个交点为C.以OC为直径作⊙M，如果过抛物线上一点P作⊙M的切线PD，切点为D.且与y轴的正半轴交点为E，连结MD，已知点E的坐标为(0，m)，求四边形EOMD的面积(用含m的代数式表示).⑶延长DM交⊙O于点N，连结ON、OD，当点P在⑵的条件下运动到什么位置时，能使得S四边形EOMD =S△DON，请求出此时点P的坐标.
分析与解答  ⑴
∵抛物线过O(0，0)、A(1，(3)、B((1，5)三点，
∴解得
∴抛物线的解析式为y=x2 (4x.
⑵抛物线y=x2 (4x与x轴的另一个交点坐标为C(4，0)，
连结EM，∴⊙M的半径为2，即OM=DM=2.
∵ED、EO=ED，=2S△OME =2(OM·OE=2m.
⑶设D点的坐标为(x0，y0). 
∵S△DON =2S△DOM =2(OM(y0 =2y0.
当S四边形EOMD =S△DON时，即2m =2y0，m=y0. 
∵m =y0，ED∥x轴，
又∵ED为切线，∴D点的坐标为(2，2).
∵点P在直线ED上，故设P点的坐标为(x，2)，
∵P在抛物线上，∴2=x2 (4x，
∴x1 =2 +，x2 =2(.
∴P(2 +，2)或P(2 (，2)为所求.
说明  本题是一道二次函数与圆的综合题，它以二次函数为背景，考查二次函数解析式的求法、切线的性质、几何图形面积的求法以及数学结合思想等的运用等.解决这类问题的关键是要善于利用几何图形的有关性质和函数的有关知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题的目的.
【提高训练】
1． 设抛物线y=x2 (2x+k与x轴的两个不同的交点分别为A(x1，0)，B(x2，0)，并且x1，x2满足x12x22(2x1(2x2 =60.
⑴求这个抛物线的解析式；
⑵用配方法求这条抛物线的顶点坐标.
2． 如图2-4-29，二次函数y=ax2 的图象与一次函数y=x+b的图象相交于A((2，2)、B两点，从点A和点B分别引平行于y轴的直线与x轴分别交于C、D两点，点P(t，0)、Q(4，t+3)分别为线段CD和BD上的动点，过点P且平行于y轴的直线与抛物线和直线分别交于R、S. 
⑴求一次函数和二次函数的解析式，并求出点B的坐标；
⑵指出二次函数中，函数y随自变量x增大或减小的情况；
⑶当SR=2RP时，求t的值；
⑷当S△BRQ=15时，求t的值.
3． 已知抛物线y=ax2+bx+c(a 0)的顶点是C(0，1)，直线l：y=(ax+3与这条抛物线交于P、Q两点，与x轴、y轴分别交于点M和N.
   ⑴设点P到x轴的距离为2，试求直线l的函数关系式；
   ⑵若线段MP与PN的长度之比为3∶1，试求抛物线的函数关系式.
4． 如图2-4-30，抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴交于点B(1，0)、C(－3，0)，且过点A(3，6).
(1)求a、b、c 的值；
(2)设此抛物线的顶点为P，对称轴与线段AC相交于点Q，连结CP、PB、BQ，试求四边形PBQC的面积.
5． 已知抛物线y=x2 (4x+m与x轴相交于A、B两点(B点在A点的左边)，与y轴的负半轴相交于点C. 
⑴求抛物线的对称轴和顶点坐标(用数或含m的代数式表示)；
⑵若AB=6，求抛物线的解析式；
⑶在⑵的抛物线上是否存在点P，使△AOP≌△COP？如果存在，请确定点P的位置，并求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由.
6. 抛物线y=(x2 +2bx((2b(1)(b为常数)与x轴相交于A(x1，0)、B(x2，0)(x2 x1 0)两点，设OA·OB=3(O为坐标系原点).
⑴求抛物线的解析式；
⑵设抛物线的顶点为C，抛物线的对称轴交x轴于点D，求证：点D是△ABC的外心；
⑶在抛物线上是否存在点P，使S△ABP=1？.
7．如图2-4-31，在Rt△ABC中，∠ACB(90(，BC AC，以斜边AB所在直线为x轴，以斜边AB上的高所在直线为y轴，建立直角坐标系. 若OA2 (OB2 (17，且线段OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2 ( mx ( 2(m (3) (0的两个根.
⑴求C点
021函数型综合题（Eon）.doc