中考专题复习二二 动态几何综合题
【简要分析】
函数是中学数学中的一个重要的概念，加强对函数概念、图象和性质，以及函数思想方法的考查是近年中考试题的一个显著特点，大量涌现的动态几何问题，即建立几何中元素的函数关系式问题是这一特点的体现.这类题目的一般解法是抓住变化中的“不变”，以“不变”为“向导”.同时，要善于利用相似三角形性质定理、勾股定理、圆幂定理、面积关系，借助方程这个桥梁，从而得到函数关系式.值得注意的是，在几何图形中建立函数关系式，问题具一定的实际意义，因此，对函数解析式中自变量的取值范围必须认真考虑，一般需要有约束条件.
【典型考题例析】
例1 如图2-4-43，在Rt△ABC中，∠C＝90(，AC＝12，BC＝16，动点P从点A出发沿AC边向点C以每秒个单位长每秒个单位长．当点(秒).
⑴设四边形PCQD的面积为y，求y与t的函数关系式；
⑵t为何值时，四边形PQBA是梯形？
⑶是否存在时刻t，使得PD∥AB？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
⑷通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t，使得PD⊥AB？若存在，请估计t的值在括号中的哪个时间段内(0≤t≤1；1 t≤2；2 t≤3；3 t≤4)，若不存在，请简要说明理由.
分析与解答  ⑴由题意知 CQ＝4t，PC＝12－3t，
∴S△PCQ =. 
∵△PCQ与△PDQ关于直线PQ对称，
∴y=2S△PCQ. 
⑵当时，有PQ∥AB，而AP与BQ不平行，这时四边形PQBA是梯形，∵CA=12，CB=16，CQ＝4t， CP＝12－3t，
∴  ，解得t＝2.?
∴当t＝2秒时，四边形PQBA是梯形.	
⑶设存在时刻t，使得PD∥AB，延长PD交BC于点M，
如图2-4-44，若PD∥AB，则∠QMD=∠B，
又∵∠QDM=∠C=90(，
∴Rt△QMD∽Rt△ABC，
从而，
∵QD=CQ=4t，AC＝12，AB==20，
∴QM=. 若PD∥AB，则，得，解得t=.
∴当t＝秒时，PD∥AB. 
⑷存在时刻t，使得PD⊥AB. 时间段为：2＜t≤3.
例2 如图2-4-45，在直角坐标系中，O是原点，A、B、C三点的坐标分别为A(18，0)，B(18，6)，C(8，6)，四边形OABC是梯形.点P、Q同时从原点出发，分别作匀速运动，其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位，点Q沿OC、CB向终点B运动，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动.⑴求出直线OC的解析式.⑵设从出发起运动了t秒，如果点O的速度为每秒2个单位，试写出点O的坐标，并写出此时t的取值范围.⑶设从出发起，运动了t秒钟.当P、Q两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC周长的一半，这时，直线PQ能否把梯形的面积也分成相等的两部分，如有可能，请求出t的值；如不可能，请说明理由.  
分析与解答  ⑴设OC的解析式为y=kx，
将C(8，6)代入，得k=.∴y =x.
⑵当Q在OC上运动时，设Q(m，m)，
依题意有：m2 +(m)2 =(2t)2，
∴m=t.  Q(t，t)，(0≤t≤5).
当Q在CB上运动时，Q点所走过的路程为2t.
∵OC=10，∴CQ=2t(10.
∴Q点的横坐标为2t(10+8=2t(2.∴Q(2t(2，6)，(5 t≤10).
⑶易. 
如图2-4-46，当Q点在OC上时，P运动的路程为t，
则Q运动的路程为(22(t).
过Q作QM⊥OA于M，则QM=(22(t)(.   
∴S△OPQ =t(22(t)(，  S梯形OABC=(18+10)(6=84. 
假设存在t值，使得P、Q两点同时平分梯形的周长和面积.
则有t(22(t)(=84(.整理，得t2 (22t +140=0.
∵△=222 (4(140 0，∴这样的t不存在.
如图2-4-47，当Q点在BC上时，Q走过的路程为22(t，
∴CQ的长为：22(t(10 =12(t.
∴S梯形OCQP =(CQ+OP)·AB=((22(t (10+t)(6=36(84(.
∴这样的t值也不存在.
综上所述，不存在这样的t值，使得P、Q两点同时平分梯形的周长和面积.
例3 如图2-4-48，Rt△PMN中，∠P=90(，PM=PN，MN=8cm，矩形ABCD的长和宽分别为8cm和2cm，C点和M点重合，BC和MN在一条直线上.令Rt△PMN不动，矩形ABCD沿MN所在直线向右以每秒1cm的速度移动(如图2-4-49)，直到C点与N点重合为止.设移动x秒后，矩形ABCD与△PMN重叠部分的面积为y cm2 .求y与x之间的函数关系式.
分析与解答  在Rt△PMN中，∵PM=PN，=90(，
∴∠PMN=∠PNM=45(.
延长AD分别交PM、PN于点G、H.过G作GF⊥MN于F. 过H作HT⊥MN于T.
∵DC=2cm，∴MF=GF=2cm，TN=HT=2cm.
∵MN=8cm，∴MT=6cm.
因此，矩形ABCD以每秒1cm的速度由开始向右移动到停止，和Rt△PMN重叠部分的形状可分为下列三种情况：
⑴当C点由M点运动到F点的过程中(0≤x≤2)，如图2-4-50所示，
设CD与PM交于点E，则重叠部分图形是Rt△MCE，且MC=EC=x.
∴y=MC·EC=x2  (0≤x≤2).
⑵当C点由F点运动到T点的过程中(2 x≤6)，
如图2-4-51所示，重叠部分图形是直角梯形MCDG.
∵MC=x，MF=2，=DG=x(2,且DC=2.
∴y=(MC+GD)·DC=2x(2  (2 x≤6).
⑶当C点由T点运动到N点的过程中(6 x≤8)，
如图2-4-52所示，设CD与PN交于点Q，
则重叠部分图形是五边形MCQHG.
∵MC=x，
∴CN=CQ=8(x，且DC=2，
∴y=(MN+GH)·DC(CN·CQ = ((x(8)2+12   (6 x ≤8).
说明  此题是一个图形运动问题，解答的方法是将各个时刻的图形分别画出，将图形由“动”变“静”，再设法分别求解.这种分类画图的方法在解动态几何题中非常有效，它可帮助我们理清思路，各个击破.
【提高训练】
1． 如图2-4-53，已知直线l的函数表达式为y=(x+8，且l与x轴，y轴分别交于A、B两点，动点Q从B点开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，同时动点P从A点开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，设点Q、P移动的时间为t秒.
⑴求出点A，B的 坐标；
⑵当t为何值时，△APQ与△AOB相似？
⑶求出⑵中当△APQ与△AOB相似时，线段PQ所在直线的函数表达式.
⑴A、B的坐标分别是(6，0)，(0，8). 
 ⑵由BO=8，AO=6，=10.当移动时间为t时，AP=t，AQ=10(2t. 
∵∠QAP=∠BAO，
∴当时，△APQ∽△AOB.
∴，∴t=(秒). 
∵∠QAP=∠BAO，
∴当时，△AQP∽△AOB.　
∴，∴t=(秒). 
∴t=秒或t=秒，经检验，它们都符合题意，此时△AQP与△AOB相似. 
⑶当t= 秒时，PQ∥OB，PQ⊥OA，PA=，
∴OP=，∴P(，0).
∴线段PQ所在直线的函数表达式为x=.
当t=时，PA=，BQ=，OP=，∴P(，0).
设Q点的坐标为(x，y)，则有，
∴，∴x=.
当x=时，y=((+8=，∴Q的坐标为(，).
设PQ的表达式为y=kx+b，则 ∴
∴PQ的表达式为y=x(. 
2． 如图2-4-54，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起(点A与点E重合)，已知AC＝8cm，BC＝6cm，∠C＝90(，EG＝4cm，∠EGF＝90(，O 是△EFG斜边上的中点.如图2-4-55，若整个△EFG从图2-4-54的位置出发，以1cm/s 的速度沿射线AB方向平移，在△EFG 平移的同时，点P从△EFG的顶点G出发，以1cm/s 的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停止运动，△EFG也随之停止平移．设运动时间为x（s），FG的延长线交 AC于H，四边形OAHP的面积为y（cm2)（不考虑点P与G、F重合的情况）．
⑴当x为何值时，OP∥AC ?
⑵求y与x 之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．
⑶是否存在某一时刻，使四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．
（参考数据：1142 ＝12996，1152 ＝13225，1162 ＝13456或4.42 ＝19.36，4.52 ＝20.25，4.62 ＝21.16）
⑴∵Rt△EFG∽Rt△ABC ，∴，=.∴FG＝＝3cm.
∵当P为FG的中点时，OP∥EG ，EG∥AC ，
∴OP∥AC.∴ x ＝＝×3＝1.5(s).
∴当x为1.5s时，OP∥AC.
⑵在Rt△EFG 中，由勾股定理得：EF ＝5cm.
∵EG∥AH ，∴△EFG∽△AFH.∴.
∴==.∴ AH＝( x ＋5)，FH＝(x+5). 
过点O作OD⊥FP ，垂足为 D .∵点O为EF中点，
∴OD＝EG＝2cm.∵FP＝3－x ，
∴S四边形OAHP ＝S△AFH －S△OFP＝·AH·FH－·OD·FP
＝·（x＋5）·（x＋5）－×2×（3－x ）
＝x2＋x＋3  (0 x 3)
⑶假设存在某一时刻x，使得四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24.
则S四边形OAHP＝×S△ABC，∴x2＋x＋3＝××6×8.
∴6x2＋85x－250＝0.解得 x1＝， x2＝
022动态几何综合题（Eon）.doc