2007年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题
（2007年4月1日  下午1：00—3：00）
一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分．以下每小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填均得零分）
1．若，则+ … ++ … +的值是（    ）
（A）1     （B）0  　  （C）-1 　    （D）2
2．定义：定点A与⊙O上的任意一点之间的距离的最小值称为点A与⊙O之间的距离．现有一矩形ABCD如图，AB=14cm，BC=12cm，⊙K与矩形的边AB、BC、CD分别相切于点E、F、G，则点A与⊙K的距离为（      ）
（A）4cm    （B）8cm    （C）10cm    （D）12cm
3．某班选举班干部，全班有50名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，50．老师规定：同意某同学当选的记“1”，不同意（含弃权）的记“0”．
如果令   
其中i=12，…，50；j=12，…，50．
则同时同意第1号和第50号同学当选的人数可表示为（      ）
（A）+ … + … +
（B）+ … + … +
（C） + + … +
（D） + + … +
若，则的图象必定经过（  ）
第一、二象限第一、二、三象限　
第二、三、四象限　       第三、四象限
5．满足两条直角边长均为整数，且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有(   )
(A)1个      (B) 2个      (C) 3个      (D)无穷多个
6．如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连结AO，如果AB=4，AO=，那么AC的长等于(　　)
(A) 12   　 (B) 16      (C)     　(D) 
二、填空题（共6小题，每小题6分，满分36分）
7．函数，当x =          时，y有最小值，最小值等于              ．
8．以立方体的8个顶点中的任意3个顶点为顶点的三角形中，正三角形的个数为             ．
9．如图，△ABC中，∠A的平分线交BC于D，若AB=6 cm，AC=4 cm，∠A=60°，则AD的长为             cm．
10．设… ，为实数，且满足
…=…=…=…=…=1，
则           ．
11．正六边形轨道ABCDEF 的周长为7.2米，甲、乙两只机器鼠分别从A，C 两点同时出发，均按A→B→C→D→E→F→A→… 方向沿轨道奔跑，甲的速度为9.2厘米／秒，乙的速度为8厘米／秒，那么出发后经过            秒钟时，甲、乙两只机器鼠第一次出现在同一条边上．
12．正整数M的个位上的数字与数的个位上的数字相同，把M的个位上的数字移到它的左边第一位数字之前就形成一个新的数N．若N是M的4倍，T是M的最小值，则T的各位数字之和等于                     ．
三、解答题（共4小题，满分54分）
13．（本题满分12分）
已知二次函数的图象G和x轴有且只有一个交点A，与y轴的交点为B（0，4），且．
（1）求该二次函数的解析表达式；
（2）将一次函数y=x的图象作适当平移，使它经过点A，记所得的图象为L，图象L与G的另一个交点为C，求△ABC的面积．
14．（本题满分12分）
如图，AB∥CD、AD∥CE，F、G分别是AC和FD的中点，过G的直线依次交AB、AD、CD、CE于点M、N、P、Q，求证：MN+PQ=2PN．
15．（本题满分14分）
2007个质点均匀分布在半径为R的圆周上，依次记为，，，…，．小明用红色按如下规则去涂这些点：设某次涂第个质点，则下次就涂第个质点后面的第个质点．按此规则，小明能否将所有的质点均涂成红色？若能，请给出一种涂点方案；若不能，请说明理由．
16．（本题满分16分）
从连续自然数1，2，3，…，2008中任意取n个不同的数，
（1）求证：当n=1007时，无论怎样选取这n个数，总存在其中的4个数的和等于4017．
（2）当n≤1006（n是正整数）时，上述结论成立否？请说明理由．
参考答案
一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分）
1．答案：C
解：由，得，
所以+ … ++ … +=-1．
2．答案：A
解：连结AK、EK，设AK与⊙O的交点为H，则AH即为所求，
因为AK==10，所以AH = 4．
．答案：C
解：由题意得C正确．
，
当时，，，直线过第一、二、三象限；时，，，直线过第一、二、四象限综合得直线过第一、二象限．
．答案：C
解：设直角三角形的两条直角边长为()，则（k均为正整数），化简得，或解得或或．答案：解：在AC取一点使C=AB=4，连接O，
∠AOG=90°，所以△AOG是等腰直角三角形，A=，所以AC=1
二、填空题（共6小题，每小题6分，满分36分）
7．答案：解：1时，y=x+4；
当x＞-1时，y=3x+6．；
    所以当x=-2时，y的值最小，最小值为2．
8．答案：解：．答案：解：=．
解得AD=．
10．答案：
解：由已知，=1，…=1，
解得所以．
11．答案：解：x 条边时，甲、乙两老鼠第一次出现在同一条边上，此时甲走了120x 厘米，
乙走了厘米，于是
解得．因x是整数，所以x=8，即经过==秒时，甲、乙两只机器鼠第一次出现在同一条边上．
12．答案：的个位数字是7，
所以可设，其中k是m位正整数，则．
由条件N=4M，得=，即．
当m=5时，k取得最小值17948．所以T=179487，它的各位数字之和为36．
三、解答题（共4题，满分54分）
13．(12分)
解：（1）由B（0，4）得，c=4． 
G与x轴的交点A（，0），
由条件，得，所以=，即A（，0）．
所以解得
所求二次函数的解析式为．
（2）设图象L的函数解析式为y=x+b，因图象L过点A（，0），
所以，即平移后所得一次函数的解析式为
y=． 
令=，
解得，．
将它们分别代入y=，
得，．
所以图象L与G的另一个交点为C（，9）．
如图，过C作CD⊥x轴于D，则
S△ABC=S梯形BCDO-S△ACD -S△ABO
    ==15． 
14．(12分)
证明：延长BA、EC，设交点为O，则
四边形OADC为平行四边形． 
∵ F是AC的中点，
∴ DF的延长线必过O点，且．
∵ AB∥CD，
∴ ．
∵ AD∥CE，
∴ ．
∴ 
=．
又 ，
∴ OQ=3DN．
∴ CQ=OQ -OC=3DN -OC=3DN -AD，AN=AD -DN，
于是，AN+CQ=2DN，
∴ =2，即 MN+PQ=2PN． 
15．(14分)
解：不能． 
理由：设继点涂成红色后被涂到的点是第j号，则
j= 
若=2007，则j=2007，即除点涂成红色外，其余均没有涂到． 
若2007，则22007，且24014，即2-20072007，
表明点永远涂不到红色． 
16．(16分)
解：（1）设，…，是1，2，3，…，2008中任意取出的1007个数．
首先，将1，2，3，…，2008分成1004对，每对数的和为2009，
每对数记作(m，2009-m) ，其中m=1，2，3，…，1004．     
因为2008个数取出1007个数后还余1001个数，所以至少有一个数是1001个数之一的数对至多为1001对，
因此至少有3对数，不妨记为 
(互不相等)均为，…，中的6个数． 
其次，将这2008个数中的2006个数(除1004、2008 外)分成1003对，每对数的和为2008，每对数记作(k ，2008-k) ，其中k=1，2，…，1003．
2006个数中至少有1005个数被取出，因此2006个数中除去取出的数以外最多有1001个数，这1003对数中，至少有2对数是，…，中的4个数，不妨记其中的一对为． 
又在三对数，(互不相等)中至少存在1对数中的两个数与中的两个数互不相同，不妨设该对数为， 
于是． 
（2）不成立．
当时，不妨从1，2，…，2008中取出后面的1006个数：
1003 ，1004，…，2008，
则其中任何四个不同的数之和不小于1003+1004+1005+1006=4018 4017；
当时，同样从1，2，…，2008中取出后面的n个数，其中任何4数之和大于1003+1004+1005+1006=4018 4017． 
所以时都不成立．
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