路桥中学重点班2005入学考试数学试题（时间90分钟）
班级__________学号__________姓名______________得分______________
一、填空题（每题5分，共25分）
1．实数x1，x2满足｜x1－x2｜＝，则x1，x2的方差等于___________．
2．CD为Rt△ABC斜边上的高线，AC、BC为x2－5x＋2＝0的两根，则AD·BD的值等于_____．
3．如图，△ABC中，AB＝AC＝8，D、E、F为BC、AB、AC上的点，DE＝DB，DF＝DC，BE＋CF＝4，则BC＝___________．
4．如图，Rt△ABC纸片中，∠C＝90°，BC＝1，AB＝2，沿AD对折，使点C落在AB边上，则tanα＝___________．
5．如图，在直角坐标系中，点P（3，3），两坐标轴的正半轴上有M、N两点，且∠MPN＝45°，则△MON的周长等于___________．
（第3题）　　　　　　　　　（第4题）　　　　　　　　（第5题）
二、选择题（每题5分，共25分）
6．若关于x的不等式组有解，则函数y＝（a－3）x2－x－图象与x轴的交点个数为	（　　）
（A）0	（B）1	（C）2	（D）1或2
7．设a、b、c、d、e的值均为0、1、2中之一，且a＋b＋c＋d＋e＝6，a2＋b2＋c2＋d2＋e2＝10，则a3＋b3＋c3＋d3＋e3的值为	（　　）
（A）14	（B）16	（C）18	（D）20
8．正五边形对角线长为2，则边长a为	（　　）
（A）－1	（B）＋1	（C）3－	（D）2－3
9．如图，圆O的圆心在梯形ABCD的底边AB上，并与其它三边均相切，若AB＝10，AD＝6，则CB长	（　　）
（A）4	（B）5
（C）6	（D）无法确定
10．平面直角坐标系中，已知点P0（1，0），将点P0绕原点O按逆时针方向旋转30°得到P1，延长OP1到P2，使OP2＝2OP1；再将P2绕点O按逆时针方向旋转30°得P3，然后延长OP3到P4，使OP4＝2OP3；……；如此下去，则点P2004的坐标为	（　　）
（A）（－22004，0）	（B）（－21002，0）	（C）（0，21002）	（D）（21002，0）
三、解答题（共50分）
11．（12分）设x1、x2是方程x2－6x＋a＝0的两个根，以x1、x2为两边长的等腰三角形只可以画出一个，试求a的取值范围．
12．（12分）先阅读下列一段文字，然后回答问题：某运输部门确定：办理托运，当一件物品的重量不超过a千克（a＜18）时，需付基础费30元和保险费b元；为限制过重物品的托运，当一件物品的重量超过a千克时，除了付以上基础费和保险费外，超过部分每千克还需付c元超重费．设某件物品的重量为x千克，支付费用为y元．
（1）当0＜x≤a时，y＝___________，（用含b的代数式表示）；当x＞a时，y＝___________（用含x和a、b、c的代数式表示）．
（2）甲、乙、丙三人各托运了一件物品，重量与支付费用如右表所示：①试根据以上提供的信息确定a、b、c的值，并写出支付费用y（元）与每件物品重量x（千克）的函数关系式．②试问在物品可拆分的情况下，用不超过120元的费用能否托运55千克物品？若能，请设计出一种托运方案，并求出托运费用；若不能，请说明理由．
13．（本题13分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝3cm，CB＝4cm，设点P、Q为AB、CB上动点，它们分别从A、C同时出发向B点匀速移动，移动速度为1cm/秒，设P、Q移动时间为t秒（0≤t≤4）．
（1）当∠CPQ＝90°时，求t的值．
（2）是否存在t，使△CPQ成为正三角形？若存在，求出t的值；若不存在，能否改变Q的运动速度（P的速度不变），使△CPQ成为正三角形？如何改变？并求出相应的t值．
14．（本题13分）已知定点F（0，－2），动点P（x，y）到F点的距离与它到x轴的距离相等．
（1）写出y关于x的函数关系式
（2）若（1）中的函数图象与过F点的直线y＝kx＋b交于A、B两点，
①请用k表示线段AB的长；
②以AB为弦的圆与y轴交于M（0，－4＋2）、N（0，－4－2）两点，求此时直线y＝kx＋b的解析式．
2006年路桥中学重点班2005入学数学标准答案及评分标准
一、填空题（每题5分，共25分）	二、选择题（每题5分，共25分）
1．3/4   2．4/21  3．4  4．2－ 5．6	6．D  7．C  8．A  9．A  10．B
三、解答题（共50分）
11．（12分）解：设x1，x2为方程两根，且x1≤x2
则x1＝3－，x2＝3＋
∵x1＞0，x2＞0，∴0＜a≤9                         …………………………………………2’
ⅰ 当x1＝x2时，即△＝9－a＝0，a＝9时为正三角形           ………………………………5’
ⅱ 当x1≠x2时，∵x1≤x2   ∴以x2为腰为等腰三角形必有一个，
而等腰三角形只有一个，故不存在以x2为底，x1为腰的三角形，
∴2x1≤x2，∴6－2≤3＋，∴≥1∴0＜a≤8………………………………11’
综上所述：当0＜a≤8或a＝9时只有一个等腰三角形 ………………………12’
12．（12分）（1）y＝30＋b；y＝30＋b＋c（x－a）                ……………………各1’  共2’
（2）①　　　　　　　　　　　　　　　　得：c＝3，3a－b＝45               …………4’
假设a＜12，则30＋b＋3（12－a）＝33 得 3a－b＝33 这与3a－b＝45 矛盾
∴a≥12，故30＋b＝33， ∴b＝3， ∴a＝16
∴           …………………7’（注：若不讲理由就得30＋b＝33，扣2分）
∴y＝                                         ………………………………9’
②只要满足条件的方案即可，如方案：分成16、16、23，托费120元．………12’
13．（13分）（1）作MP⊥AC，由△APM∽△ACB得MP＝t，AM＝t，
作PN⊥CQ于N，则CN＝PM＝t，由射影定理得CP2＝CN·CQ，
故t2－t＋9＝（t）t，整理得：t2－18t＋45＝0，
∴t1＝3，（t2＝15舍去）              ………………………………………………6’
②ⅰ假设存在t使△PCQ为正三角形，则CN＝MP ， ∴t＝t，
∴t＝0 ，故△PCQ不存在，∴△CPQ不可能为正△………………………………………8’
ⅱ 设Q速度为x，则CQ＝xt，若△CPQ为正△，则CN＝CQ，PN＝CN …………10’
CQ   4，解得： x＝，                   ……………………………………………11’
t＝                    ……………………………………………13’
14．（13分）解：（1）过P作PH⊥x轴于H，则PF＝PH，∴，∴y＝－x2－1…5’
（2）ⅰ设A （x1，y1），B（x2，y2）（这里y1＜0，y2＜0＝，∵直线过F（0，－2），∴直线为y＝kx－2
由                  得 y2＋4（1＋k2）y＋4（k2＋1）＝0  ……………………6’
A、B 在抛物线上，由已知条件知：AB＝AF＋FB，∴AB＝＝ －（y1＋y2）＝4（k2＋1）10’
ⅱ 由相交弦定理AF·FB＝FM·FN     ………………………………………………11’
又AF·FB＝ ∴     ………………………………………………12’
∴k＝±1，即直线方程为y＝±x－2  ………………………………………………13’
2006年路桥中学重点班2005入学数学试题　第1页

2006年路桥中学重点班入学数学试题及参考答案.doc