2007年全国各地中考试题压轴题精选全解之三
45.（山东省济南市）24. 已知：如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，点的坐标分别为，，．
（1）求过点的直线的函数表达式；
（2）在轴上找一点，连接，使得与相似（不包括全等），并求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，如分别是和上的动点，连接，设，问是否存在这样的使得与相似，如存在，请求出的值；如不存在，请说明理由．
解：（1）点，
，，点坐标为
设过点的直线的函数表达式为，
由 得，
直线的函数表达式为
（2）如图1，过点作，交轴于点，
在和中，
    ，
点为所求
又，
，
（3）这样的存在
在中，由勾股定理得
如图1，当时，
则，解得
如图2，当时，
则，解得
46.(青岛市)24. 已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点
P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移
动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两
点停止运动．设点P的运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形?
（2）设四边形APQC的面积为y（cm2），求y与t的
关系式；是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二？如果存在，求出相应的t值；不存在，说明理由；
（3）设PQ的长为x（cm），试确定y与x之间的关系式．
解：⑴ 根据题意：AP＝t cm，BQ＝t cm
△ABC中，AB＝BC＝3cm，∠B＝60°
∴BP＝(3－t ) cm
△PBQ中，BP＝3－t，BQ＝t，若△PBQ是直角三角形，则∠BQP＝90°∠BPQ＝90°当∠BQP＝90°时，BQ＝BP
即t＝(3－t )
t＝1 (秒)
当∠BPQ＝90°时，BP＝BQ
3－t＝t
t＝2 (秒)
答：当t＝1秒或t＝2秒时，△PBQ是直角三角形． ⑵ 过P作PM⊥BC于M 
Rt△BPM中，sin∠B＝
∴PM＝PB·sin∠B＝(3－t )
∴S△PBQ＝BQ·PM＝· t ·(3－t )
∴y＝S△ABC－S△PBQ＝32×－· t ·(3－t )
＝
∴y与t的关系式为： y＝t，使得四边形APQC的面积是△ABC面积的，
则S四边形A＝S△AB∴＝×32×．
∴t 2－3 t＋3＝0．
∵(－3) 2－4×1×3＜0，
∴方程无解．
∴无论t取何值，四边形APQC的面积都不可能是△ABC面积的．
⑶ 在Rt△，
MQ＝＝
MQ 2＋PM 2＝PQ 2
∴x2＝[(1－t ) ]2＋[(3－t ) ]2＝
＝＝3t2－t＋9．         
∴t2－t＝
∵y＝
∴y＝＝＝
∴y与x的关系式为：y＝①，中，，．它的顶点的坐标为，顶点的坐标为，，点从点出发，沿的方向匀速运动，同时点从点出发，沿轴正方向以相同速度运动，当点到达点时，两点同时停止运动，设运动的时间为秒．
（1）求的度数．
（2）当点在上运动时，的面积（平方单位）与时间（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分，（如图②），求点的运动速度．
（3）求（2）中面积与时间之间的函数关系式及面积取最大值时点的坐标．
（4）如果点保持（2）中的速度不变，那么点沿边运动时，的大小随着时间的增大而增大；沿着边运动时，的大小随着时间的增大而减小，当点沿这两边运动时，使的点有几个？请说明理由．
解: （1）．
（2）点的运动速度为2个单位/秒．
（3）（）
．
当时，有最大值为，
此时．
（4）当点沿这两边运动时，的点有2个．
①当点与点重合时，，
当点运动到与点重合时，的长是12单位长度，
作交轴于点，作轴于点，
由得：，
所以，从而．
所以当点在边上运动时，的点有1个．
②同理当点在边上运动时，可算得．
而构成直角时交轴于，，
所以，从而的点也有1个．
所以当点沿这两边运动时，的点有2个．
48.(山东省东营市)24. 根据以下10个乘积回答问题：
11×29；  12×28；   13×27；   14×26；   15×25；
16×24；  17×23；   18×22；   19×21；   20×20．
试将以上乘积写成“□2－2”（两数平方差）的形式，并写出其中一个的思考过程；将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；试由⑴⑵猜测一个一般性的结论．（不要求证明）解：⑴11×29＝202－92；12×28＝202－82；13×27＝202－72；
14×26＝202－62；15×25＝202－52；16×24＝202－42；
17×23＝202－32；18×＝202－22；19×21＝202－12；
20×20＝202－02．例如，11×29；假设11×29=□2－○2，因为□2－○2=（□＋○）（□－○）；所以，可以令□－○＝11，□＋○29．
解得，□＝20，○＝9．故．11×29＝20－920＋9）=202－⑵ 这10个按照从小到大的顺序依次是：
．
⑶ ① 若，则2＝400．
② 若，则．
③ 若是，则．④ 若，则．⑤ 若．且则．⑥若．且则．ABC中，D为A月边上一点，∠A=36°，AC=BC，AC2=AB·AD．
(1)试说明：△ADC和△BDC都是等腰三角形，
(2)若AB=1，求AC的长，
(3)试构造一个等腰梯形，要求该梯形连同它的两条对角线所形成的8个三角形中有尽可能多的等腰三角形．
解：(1)在△ABC中，AC=BC，∠A＝36°，∴∠B=∠A=36°，∠ACB=108°
在△ABC与△CAD中，∠A=∠B=36°．
∵AC2=AB·AD，∴．
∴△ABC∽△CAD．
∴∠ACD=∠B=36°．
∴∠CDB=72°，∠DCB=108°-36°=72°．
∴△ADC和△BDC都是等腰三角形．
 (2)设AC＝x，则AD=1-BD=1-BC=1-2x
∴x2=1×(1-x)，即x2＋x-1＝0．解得 （舍去)．
∴
(3)说明：按照画出的梯形中，有4个，6个和8个等腰三角形三种情况分类得分．
①有4个等腰三角形，得1分；
②有6个等腰三角形，得2分；
③有8个等腰三角形，得4分．
50.(山东省滨州市)26. 如图12-1所示，在中，，，为的中点，动点在边上自由移动，动点在边上自由移动．
（1）点的移动过程中，是否能成为的等腰三角形？若能，请指出为等腰三角形时动点的位置．若不能，请说明理由．
（2）当时，设，，求与之间的函数解析式，写出的取值范围．
（3）在满足（2）中的条件时，若以为圆心的圆与相切（如图12-2），试探究直线与的位置关系，并证明你的结论．
解：如图，
（1）点移动的过程中，能成为的等腰三角形．
此时点的位置分别是：
①是的中点，与重合．
②．③与重合，是的中点
（2）在和中，
，，
．
又，
．
．
，，，
．
（3）与相切．
，
．
．
即．
又，
．
．
点到和的距离相等．
与相切，
点到的距离等于的半径．
与相切．
51.(日照市)24. 如图，直线EF将矩形纸片ABCD分成面积相等的两部分，E、F分别与BC交于点E，与AD交于点F（E，F不与顶点重合），设AB=a,AD=b,BE=x．
(Ⅰ)求证：AF=EC；
(Ⅱ)用剪刀将纸片沿直线EF剪开后，再将纸片ABEF沿AB对称翻折，然后平移拼接在梯形ECDF的下方，使一底边重合，直腰落在边DC的延长线上，拼接后，下方的梯形记作EE′B′C.
   （1）求出直线EE′分别经过原矩形的顶点A和顶点D时，所对应的 x︰b的值；
   （2）在直线EE′经过原矩形的一个顶点的情形下，连接BE′，直线BE′与EF是否平行？你若认为平行，请给予证明；你若认为不平行，请你说明当a与b满足什么关系时，它们垂直？
解: (Ⅰ)证明：∵AB=aAD=b，BE=x ，梯形AB= S梯形
∴a(x+AF)=a(EC+b-AF)，
∴2AF=EC+(b-x)．
又∵EC＝b-x，
∴2AF=2EC即AF=EC； (Ⅱ)（1）当直线EE′经过原矩形的顶点D时，如图（一），
∵EC∥E′B′
∴=.
由EC＝b-x，E′B′=EB=x DB′=DC+CB′=2a，
得，
∴x︰b= 当直线E′E经过原矩形的顶点A时，如图（二），
在梯形AE′B′D中，
∵EC∥E′B′,点C是DB′的中点，
∴CE=(AD+ E′B′) 
即b-x＝（b＋x）
∴x︰b=(2) 如图（一）， 当直线EE′ 经过原矩形的顶点D时，BE′∥EF
证明：连接BF
∵FD∥BE, FD=BE，
∴四边形FBED是平行四边形，
∴FB∥DE， FB=DE,
又∵EC∥E′B′， 点C是DB′的中点，
∴DE=EE′，
∴FB∥EE′, FB= EE′
∴四边形BE′是平行四边形∴BE′∥EF．如图（二）， 当直线EE′ 经过原矩形的顶点A时，显然BE′与EF不平行，设直线EF与BE′交于点GE′作E′M⊥BC于M 则E′M=a.．
∵x︰b=
∴EM=BC=b．
若BE′与EF垂直，则有∠GBE+∠BEG=90°，又∵∠BEG＝∠FEC＝∠MEE′ ∠MEE′+∠ME′E=90°，
∴∠GBE=∠ME′E.
在Rt△BME′中，tan∠E′BM= tan∠GBE==．
在Rt△EME′中，tan∠ME′E ==，
∴＝．
又∵a＞0b＞0
，
∴当时，
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