2007年全国各地中考试题压轴题精选全解之四
63.（长沙市）26. 如图，中，，，，为上一动点（不与重合），作于，，的延长线交于点，设，的面积为．
（1）求证：；
（2）求用表示的函数表达式，并写出的取值范围；
（3）当运动到何处时，有最大值，最大值为多少？
解: （1）证明略；
（2）由（1）为中边上的高，
在中，，，
在中，，，
，
，
其中．
（3），对称轴，当时，随的增大而增大，
当，即与重合时，有最大值．
．
64.(湖南省郴州) 27．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，将矩形ABCD沿对角线AC平移，平移后的矩形为EFGH（A、E、C、G始终在同一条直线上），当点E与C重合时停止移动．平移中EF与BC交于点N，GH与BC的延长线交于点M，EH与DC交于点P，FG与DC的延长线交于点Q．设S表示矩形PCMH的面积，表示矩形NFQC的面积．
（1） S与相等吗？请说明理由．
（2）设AE＝x，写出S和x之间的函数关系式，并求出x取何值时S有最大值，最大值是多少？
（3）如图11，连结BE，当AE为何值时，是等腰三角形． 
解: （1）相等   理由是：因为四边形ABCD、EFGH是矩形，
所以
所以   即：（2）AB＝3，BC＝4，AC＝5，设AE＝x，则EC＝5－x，
所以，即配方得：，所以当时，S有最大值3（3）当AE＝AB＝3或AE＝BE＝或AE＝3.6时，是等腰三角形
和按图1所示的位置放置与重合，与重合．
（1）求图1中，三点的坐标．
（2）固定不动，沿轴以每秒2个单位长的速度向右运动，当点运动到与点重合时停止，设运动秒后和重叠部分面积为，求与之间的函数关系式．
（3）当以（2）中的速度和方向运动，运动时间秒时运动到如图2所示的位置，求经过三点的抛物线的解析式．
（4）现有一半径为2，圆心在（3）中的抛物线上运动的动圆，试问在运动过程中是否存在与轴或轴相切的情况，若存在请求出的坐标，若不存在请说明理由．
解：（1），，
（2）当时，位置如图Ａ所示，
作，垂足为，可知：，，
，，
当时，位置如图Ｂ所示．
可知：
（求梯形的面积及的面积时只要所用方法适当，所得结论正确均可给分）
与的函数关系式为：
（3）图2中，作，垂足为，当时，，
，
可知：，，
经过三点的抛物线的解析式为：
（4）当在运动过程中，存在与坐标轴相切的情况，设点坐标为
当与轴相切时，有，，由得：，
由，得，
当与轴相切时，有
，得：，
综上所述，符合条件的圆心有三个，其坐标分别是：
，，
66.(湖南省永州市) 25、在梯形中，，，，，．
（1）求的长；
（2）为梯形内一点，为梯形外一点，若，，试判断的形状，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，若，，求的长．
解（1）过点作，垂足为
四边形为矩形
（2）
是等腰直角三角形
（3）过点作
四边形是正方形，
67.(湖南省韶关市) 25.如图6，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，OA=4，AB=2，直线与坐标轴交于D、E。设M是AB的中点，P是线段DE上的动点.
（1）求M、D两点的坐标；
（2）当P在什么位置时，PA=PB？求出此时P点的坐标；
（3）过P作PH⊥BC，垂足为H，当以PM为直径的⊙F与BC相切于点N时，求梯形PMBH的面积.
解: （1）
（2）∵PA=PB，∴点P在线段AB的中垂线上，
 ∴点P的纵坐标是1，又∵点P在上，
∴点P的坐标为
设P（x,y）
依题意知：PN⊥MN，FN⊥BC，F是圆心.
∴N是线段HB的中点，HN=NB=，
∵∠HPN+∠HNP=∠HNP+∠BNM=90°，
∴∠HPN=∠BNM，又∠PHN=∠B=90°
∴Rt△PNH∽Rt△NMB, ∴
∴，解得：
舍去），
68.(湖南省株洲市)25. 已知Rt△ABC，∠ACB＝90o，AC＝4，BC＝3，CD⊥AB于点D，以D为坐标原点，CD所在直线为y轴建立如图所示平面直角坐标系.
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）若⊙O1、⊙O2分别为△ACD、△BCD的内切圆，求直线的解析式；
（3）若直线分别交AC、BC于点M、N，判断CM与CN的大小关系，并证明你的结论.
解: （1）在中，
同理
（2）设的半径为的半径为，
则有
    同理
 由此可求得直线的解析式为： 
（3）与的大小关系是相等．
证明如下：法一：由（1）易得直线的解析式为：，
联立直线的解析式，求得点的纵坐标为，
过点作轴于点，
，由，得，
解得：  同理，
法二：由
由此可推理：
69.(深圳市) 23．如图7，在平面直角坐标系中，抛物线与直线相交于两点．
（1）求线段的长．
（2）若一个扇形的周长等于（1）中线段的长，当扇形的半径取何值时，扇形的面积最大，最大面积是多少？
（3）如图8，线段的垂直平分线分别交轴、轴于两点，垂足为点，分别求出的长，并验证等式是否成立．
（4）如图9，在中，，，垂足为，设，，．，试说明：．
解：（1） ∴A（-4，-2），B（6，3） 
分别过A、B两点作轴，轴，垂足分别为E、F
∴AB=OA+OB    
（2）设扇形的半径为，则弧长为，扇形的面积为
 则
∵
∴当时，函数有最大值  
（3）过点A作AE⊥轴，垂足为点E
∵CD垂直平分AB，点M为垂足
∴
∵
∴△AEO∽△CMO
∴  ∴  ∴
同理可得 
∴
∴
∴
（4）等式成立．理由如下：
∵
∴  
∴
∴
∴
∴ 
∴
∴
∴        
70.（广东省威海市）25.如图①，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，二次函数的图象记为抛物线．
（1）平移抛物线，使平移后的抛物线过点，但不过点，写出平移后的一个抛物线的函数表达式：             （任写一个即可）．
（2）平移抛物线，使平移后的抛物线过两点，记为抛物线，如图②，求抛物线的函数表达式．
（3）设抛物线的顶点为，为轴上一点．若，求点的坐标．
（4）请在图③上用尺规作图的方式探究抛物线上是否存在点，使为等腰三角形．若存在，请判断点共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明师．
解：（1）有多种答案，符合条件即可．例如，，或，，．（2）设抛物线的函数表达式为，	
点，在抛物线上，
解得
抛物线的函数表达式为．（3），
点的坐标为．过三点分别作轴的垂线，垂足分别为，
则，，，，，．
．
．延长交轴于点，设直线的函数表达式为，
点，在直线上，
解得
直线的函数表达式为．
点的坐标为．
设点坐标为，分两种情况：
若点位于点的上方，则．
连结．
．
，
，解得．
点的坐标为．若点位于点的下方，则．
同理可得，．
点的坐标为．（4）作图痕迹如图③所示．由图③可知，点共有3个可能的位置．
71.(广东省梅州市)
25. 如图12，直角梯形中，，动点从点出发，沿方向移动，动点从点出发，在边上移动．设点移动的路程为，点移动的路程为，线段平分梯形的周长．
（1）求与的函数关系式，并求出的取值范围；
（2）当时，求的值；
（3）当不在边上时，线段能否平分梯形的面积？若能，求出此时的值；若不能，说明理由．
解：（1）过作于，则，可得，
所以梯形的周长为18．
平分的周长，所以，
因为，所以，
所求关系式为：．
（2）依题意，只能在边上，．
，
因为，所以，所以，得
，即，
解方程组   得．
（3）梯形的面积为18．
当不在边上，则，
（）当时，在边上，．
如果线段能平分梯形的面积，则有
可得：解得（舍去）．
（）当时，点在边上，此时．
如果线段能平分梯形的面积，则有，
可得此方程组无解．
所以当时，线段能平分梯形的面积．
72.(广东省茂名市)25. 如图，已知平面直角坐标系中，有一矩形纸片OABC，O为坐标原点，轴， B（3，），现将纸片按如图折叠，AD，DE为折痕，．折叠后，点O落在点，点C落在点，并且与在同一直线上．
（1）求折痕AD 所在直线的解析式； 
（2）求经过三点O，C的抛物线的解析式
（3）若⊙，圆心在（2）的抛物线上运动，
⊙与两坐标轴都相切时，求⊙半径的值．
解：
（1）由已知得
．
∴，
∴．
设直线AD的解析式为．
把A，D坐标代入上式得：
，
解得：，
折痕AD所在的直线的解析式是．
（2）过作于点F，
由已知得，∴．
又DC＝3－1＝2，∴．
∴在中， ．
，
∴，而已知．
法一：设经过三点O，C1，C的抛物线的解析式是
点在抛物线上，∴，∴
∴为所求
法二：设经过三点O，C1，C的抛物线的解析式是．
把O，C1，C的坐标代入上式得:
，
　解得，∴为所求．
（3）设圆心，则当⊙P与两坐标轴都相切时，有．
由，得，解得（舍去），．
由，得解得（舍去），．
∴所求⊙P的半径或．　
73.(海南省) 
       
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