中国教育学会中学数学教学专业委员会
“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题参考答案
一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分）
满足 ，则的值为（   ）．
（A）7         （B）     （C）     （D）5
【答】（A）
解：因为，≥0，由已知条件得
， ，
所以            
                       7．
2．把一枚六面编号分别为16的质地均匀的正方体骰子投，正面朝上的编号二次函数与x轴有两个不同交点的概率是（    ）
    （A）       （B）         （C）         （D）6×6＝36，即可以得到36＝＞0，即＞4.
通过枚举知，满足条件的有17对. 故.
3．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有(     )．
   （A）6条        （B） 8条      （C）10条       （D）12条
【答】（B）
解：如图，大圆周上有4个不同的点A，B，C，D，两两连线可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点E，F中，至少有一个不是四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，则它与A，B，C，D的连线中，至少有两条不同于A，B，C，D的两两连线．从而这6个点可以确定的直线不少于8条．
当这6个点如图所示放置时，恰好可以确定8条直线．
所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条．
4．已知是半径为1的圆的一条弦，且．以为一边在圆内作正△，点为圆上不同于点A的一点，且，的延长线交圆于点，则的长为（    ）．
（A）       （B）1        （C）         （D）a
【答】（B）
解：如图，连接OE，OA，OB． 设，则 
．
又因为
，
所以≌，于是．
5．将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（    ）．
（A）2种      （B）3种       （C）4种        （D）5种
【答】（D）
解：设是1，2，3，4，5的一个满足要求的排列．
首先，对于，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，与已知条件矛盾．
又如果（1≤i≤3）是偶数，是奇数，则是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数．
所以只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5种情形满足条件：
 2，1，3，4，5；    2，3，5，4，1；    2，5，1，4，3；  
4，3，1，2，5；    4，5，3，2，1．
二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）
．若关于x的方程有两个不同的实数根，则满足条件的实数a的取值范围是              ．
【答】，或．
解：由，得
，
依题意有               
解得，，或．
7．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是       分钟．
【答】4．
解：设18路公交车的速度是米/分，小王行走的速度是米/分，同向行驶的相邻两车的间距为米．
每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，则
                               ．                      ①
每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，则
                            ．                      ②
由①，②可得 ，所以 ．
即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟．
8．如图，在△中，AB=7，AC=11，点M是BC的中点， AD是∠BAC 的平分线，MF∥AD，则FC的长为          ．
【答】9．
解：如图，设点N是AC的中点，连接MN，则MN∥AB．
又，
所以 ，
所以 ．
因此 9．
9．△ABC中，AB＝7，BC＝8，CA＝9，过△ABC的内切圆圆心I作DE∥BC，分别与AB，AC相交于点D，E，则DE的长为          ．
【答】．
解：如图，设△ABC的三边长为a，b，c，内切圆I的半径为r，BC边上的高为，则
，
所以   ．
因为△ADE∽△ABC，所以它们对应线段成比例，因此
，
所以   
              ，
故     ．
10．关于x，y的方程的所有正整数解为              ．
【答】
解：因为208是4的倍数，偶数的平方数除以4所得的余数为0，奇数的平方数除以4所得的余数为1，所以x，y都是偶数．
设，则
，
同上可知，a，b都是偶数．设，则
，
所以，c，d都是偶数．设，则
，
于是                 ＝，
其中s，t都是偶数．所以
≤．
所以可能为1，3，5，7，9，进而为337，329，313，289，257，故只能是＝289，从而＝7．于是  
因此    
三、解答题（共4题，每题15分，满分60分）
的图象与轴、轴的正半轴分别交于A，B两点，且使得△OAB的面积值等于．
用b表示k；
求△OAB面积的最小值． 
解：（1）令，得；令，得．
所以A，B两点的坐标分别为，于是，△OAB的面积为
．
由题意，有
，
解得                    ，．       
 ……………… 5分（2）由（1）知
≥，
当且仅当时，有，即当，时，不等式中的等号成立．
   所以，△OAB面积的最小值为．         
……………… 15分
12．已知为正整数，关于x的方程的两个实数根为，关于y的方程的两个实数根为，且满足．求的最小值．
解：关于x的方程的根为，关于y的方程的根为．
设，则
当时，有，不满足条件；
当时，有，不满足条件；
当时，得；
当时，得．
由于，于是有                 
．
……………… 10分
又由于为正整数，得知t是有理数，从而t是整数．
由，得，即b取最小值为
=．
所以，b的最小值为62997．                      
……………… 15分
13．是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角2倍的△ABC？证明你的结论．
解：存在满足条件的三角形．
  当△ABC的三边长分别为，，时，．
                                                 ……………… 5分
如图，当时，延长BA至点D，使．连接CD，则△为等腰三角形．
因为为△的一个外角，所以．由已知，，所以
．所以△为等腰三角形．
又为△与△的一个公共角，有△∽△，于是
， 即  ，　　
所以                    ．
而，所以此三角形满足题设条件，故存在满足条件的三角形．        
……………… 15分
说明：满足条件的三角形是唯一的．
若，可得．有如下三种情形：
（i）当时，设，，（为大于1的正整数），
代入，得，解得，有，，；
（ⅱ）当时，设，，（为大于1的正整数），
代入，得，解得 ，有，，，此时不能构成三角形；
（ⅲ）当时，设，，（为大于1的正整数），
代入，得，即 ，此方程无整数解．
    所以，三边长恰为三个连续的正整数，且其中一个内角等于另一个内角的2倍的三角形存在，而且只有三边长分别为4，5，6构成的三角形满足条件．
14．从1，2，…，9中任取n个数，其中一定可以找到若干个数（至少一个，也可以是全部），它们的和能被10整除，求n的最小值．
解：当n＝4时，数1，3，5，8中没有若干个数的和能被10整除． 
                                                 ……………… 5分
当n＝5时，设是1，2，…，9中的5个不同的数．若其中任意若干个数，它们的和都不能被10整除，则中不可能同时出现1和9；2和8；3和7；4和6．于是中必定有一个数是5．
若中含1，则不含9．于是不含4（4＋1＋5＝10），故含6；于是不含3（3＋6＋1＝10），故含7；于是不含2（2＋1＋7＝10），故含8．但是5＋7＋8＝20是10的倍数，矛盾．
若中含9，则不含1．于是不含6（6＋9＋5＝20），故含4；于是不含7（7＋4＋9＝20），故含3；于是不含8（8＋9＋3＝10），故含2．但是5＋3＋2＝10是10的倍数，矛盾．
综上所述，n的最小值为5．                      ……………… 15分
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（第8题5数，段成比例，所以）
（第
2008年全国初中数学竞赛试题参考答案.doc