第一章  直角三角形的边角关系
§1.1  从梯子的倾斜程度谈起（第一课时）
学习目标:
1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.
2.能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算.
学习重点:
1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系.
2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系.
学习难点:
理解正切的意义，并用它来表示两边的比.
学习方法:
引导—探索法.
学习过程:
一、生活中的数学问题:
1、你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？
2、生活问题数学化：
⑴如图：梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
⑵以下三组中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
二、直角三角形的边与角的关系（如图，回答下列问题）
⑴Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系?
⑵
⑵有什么关系？
⑶如果改变B2在梯子上的位置(如B3C3)呢?
⑷由此你得出什么结论?
三、例题：
例1、如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡?
例2、在△ABC中，∠C=90°，BC=12cm，AB=20cm，求tanA和tanB的值.
四、随堂练习：
1、如图，△ABC是等腰直角三角形，你能根据图中所给数据求出tanC吗?
2、如图，某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B，已知点B到山脚的垂直距离为55m，求山的坡度.(结果精确到0.001)
3、若某人沿坡度i＝3：4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置升高________米.
4、菱形的两条对角线分别是16和12.较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为θ，则tanθ＝______.
5、如图，Rt△ABC是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB的长为12 m，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：1.5的斜坡AD，求DB的长.(结果保留根号) 
五、课后练习：
1、在RtABC中,∠C=90°,AB=3,BC=1,则tanA= _______.
在ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,则tanA=_______.
在ABC中,AB=AC=3,BC=4,则tanC=______.
在RtABC中,∠C是直角,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,且a=24,c= 25,求tanAtanB的值.若三角形三边的比是25:24:7,求最小角值.6、如图,在菱形ABCD中,AE⊥BC于E,EC=1,B=, 求菱形的边长和四边形AECD的周长.7、已知:如图,斜坡AB的倾斜角a,且tan=,现有一小球从坡底A处以20cm/s 的速度向坡顶B处移动,则小球以多大的速度向上升高?探究  ⑴、a克糖水中有b克糖(a b 0),则糖的质量与糖水质量的比为_______; 若再添加c克糖(c 0),则糖的质量与糖水的质量的比为________.生活常识告诉我们: 添加的糖完全溶解后,糖水会更甜,请根据所列式子及这个生活常识提炼出一个不等式: ____________.
  我们知道山坡的坡角越大,则坡越陡,联想到课本中的结论:tanA的值越大, 则坡越陡,我们会得到一个锐角逐渐变大时,它的正切值随着这个角的变化而变化的规律,请你写出这个规律:_____________.
  如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=a,BC=b(a b),延长BA、BC,使AE=CD=c, 直线CA、DE交于点F,请运用(2) 中得到的规律并根据以上提供的几何模型证明你提炼出的不等式.
一、正弦、余弦及三角函数的定义
想一想：如图
(1)直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么关系?
(2) 有什么关系? 呢?
(3)如果改变A2在梯子A1B上的位置呢?你由此可得出什么结论?
(4)如果改变梯子A1B的倾斜角的大小呢?你由此又可得出什么结论?
请讨论后回答.
二、由图讨论梯子的倾斜程度与sinA和cosA的关系：
三、例题：
例1、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC＝200.sinA＝0.6，求BC的长.
例2、做一做：
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA＝，AC＝10，AB等于多少?sinB呢?cosB、sinA呢?你还能得出类似例1的结论吗?请用一般式表达.
四、随堂练习：
1、在等腰三角形ABC中，AB=AC＝5，BC=6，求sinB，cosB，tanB.
2、在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC=20，求△ABC的周长和面积.
3、在△ABC中.∠C=90°，若tanA=，则sinA=     .
4、已知：如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，求证：BC2＝AB·BD.(用正弦、余弦函数的定义证明)
五、课后练习：
1、在Rt△ABC中,∠ C=90°,tanA=,则sinB=_______,tanB=______.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=41,sinA=,则AC=______,BC=_______.
在△ABC中,AB=AC=10,sinC=,则BC=_____.4、在△ABC中,已知AC=3,BC=4,AB=5,那么下列结论正确的是(   )
    A.sinA=     B.cosA=     C.tanA=     D.cosB=
5、如图,在△ABC中,∠C=90°,sinA=,则等于(   )
A.          C.          D.
6、Rt△ABC中,∠C=90°,已知cosA=,那么tanA等于(   )
A.         C.        D.
7、在△ABC中，∠C=90°,BC=5,AB=13,则sinA的值是
A．              B．               C．              D．
8、已知甲、乙两坡的坡角分别为, 若甲坡比乙坡更徒些, 则下列结论正确的是(   )
    A.tan tanβ     B.sinα sinβ;    C.cosα cosβ
9、如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,则下列线段的比中不等于sinA的是(   )
    A.     C.     D.
10、某人沿倾斜角为的斜坡前进100m,则他上升的最大高度是(   )    A.       B.100sinβ    C.    D. 100cosβ
11、如图,分别求∠α,∠β的正弦,余弦,和正切.
12、在△ABC中,AB=5,BC=13,ADBC边上的高,AD=4.求:CD,sinC.
13、在Rt△ABC中,∠BCA=90°,CDBC=8,CD=5.求sin∠ACD,cos∠ACD和tan∠ACD.Rt△ABC中,∠C=90°,sinA和cosB
15、如图,已知四边形ABCD中,BC=CD=DB,∠ADB=90°,cos∠ABD=求三角函数
角度
	sinα	coα	tanα		30°					45°					60°					[例1]计算：
(1)sin30°+cos45°；                 (2)sin260°+cos260°-tan45°.
[例2]一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5 m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到0.01 m)
三、随堂练习
1.计算：
(1)sin60°-tan45°；                (2)cos60°+tan60°；
(3) sin45°+sin60°-2cos45°；    ⑷；
⑸(+1)-1+2sin30°-；          ⑹(1+)0-｜1-sin30°｜1+()-1；
⑺sin60°+；              ⑻2-3-(+π)0-cos60°-.
2.某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°.高为7 m，扶梯的长度是多少?
3．如图为住宅区内的两幢楼，它们的高AB＝CD=30 m，两楼问的距离AC=24 m，现需了解甲楼对乙楼的采光影响情况.当太阳光与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高?(精确到0.1 m，≈1.41，≈1.73)
四、课后练习：
1、Rt△ABC中，，则；
2、在△ABC中，若,，则，面积S＝　　   　；
3、在△ABC中，AC：BC＝1：，AB＝6，∠B＝　　，AC＝　　BC＝　　　　
4、等腰三角形底边与底边上的高的比是，则顶角为      （　　）
（A）600　　 （B）900　　　（C）1200　　　（D）1500
5、有一个角是的直角三角形，斜边为，则斜边上的高为    （　　）
（A）　　 （B）　　 （C）　  （D）
6、在中，，若，
北师大九年下数学第一章学案.doc