初中数学建模教学有感
马顺明
（如东县兵房中学，江苏 南通 226412）
摘要：数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象．数学课程应体现“问题情境——建立数学模型——理解、应用与拓展” ，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程．初中数学建模教学宜低起点、小步子、多活动．数学思想是数学知识的结晶，是高度概括的数学理论．数学建模教学要重视数学知识，更应突出数学思想方法，让学生通过观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学学习活动，在获得对数学理解的同时，在思维能力、情感、态度与价值观等多方面得到进步和发展．
关键词：初中数学；数学建模；建模教学
数学课程标准指出：数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象，数学课程应体现“问题情境——建立数学模型——理解、应用与拓展”，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感、态度与价值观等多方面得到进步和发展．
对复杂的实际问题进行分析，发现其中的可以用数学语言来描述的关系或规律，把这个实际问题转化成一个数学问题，这就称为数学模型．
数学建模就是将某一领域或部门的某一实际问题，通过一定的假设找出这个问题的数学模型，求出模型的解，并对它进行验证的全过程．从广义来说，数学建模伴随着数学学习的全过程．数学概念、数学法则、数学方法的学习与应用都属于数学建模的范畴．
数学建模的基本过程大致为：                           
一、初中数学建模教学宜低起点、小步子、多活动
    过去数学建模只作为高等院校数学专业和部分计算机专业的课程．初中数学建模教学和高校的数学建模教学有很大的不同，初中数学建模教学一般先提出问题、引入正题；然后分析问题，在“引导——探索——创造” 中建立模型；最后利用模型解决问题．根据初中学生的身心发展水平、已经掌握的知识结构，初中数学建模教学宜“低起点、小步子、多活动”．
低起点，就是根据学生的现有水平，结合课程标准的要求，降低教学的起点，以便全体学生都能真正进入到教学活动中去．小步子，就是按照由易到难，由浅入深，由单一到综合，由简单到复杂的原则，安排层次分明，但梯度较小的教学情境，分散教学难点，突出教学重点，引领学生沿着数学学习活动的台阶拾级而上，最终达到课程标准的要求．多活动，就是恰当地设计问题情境，引领学生动眼看、动脑想、动口说、动手做，引领学生开展自主学习、合作交流、提问质疑等数学学习活动，引领学生在活动中获得知识，引领学生在活动中发展思维．
[案例1] 销售中的盈亏问题的建模教学
    1、背景问题
某商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏? （人教版数学七年级上册第104页）
2、数学建模
（1）问题分析
①假设一件衣服的进价是元，以60元卖出，卖出后盈利25%，那么这件衣服的利润是多少元？
②假设一件衣服的进价是元，以60元卖出，卖出后亏损25%，那么这件衣服的利润是多少元？ 
（2）模型建立
问题1  你认为销售价与进价之间具有怎样的关系时是盈利的？
归纳   盈利：销售价＞进价
问题2  你认为销售价与进价之间具有怎样的关系时是亏损的？
归纳   亏损：销售价＜进价
问题3  你认为销售价与进价之间具有怎样的关系时不亏不盈?
归纳   不盈不亏：销售价＝进价
问题4  你发现利润、销售价、进价之间有怎样的关系？
归纳   利润＝销售价－进价
问题5  你发现利润、进价、利润率之间有怎样的关系？
归纳   利润＝进价×利润率
问题6  你发现销售价、进价、利润率之间有怎样的关系？
归纳   销售价－进价＝进价×利润率
（3）模型求解
设盈利25%的那件衣服的进价是元，那么它的利润就是元，根据销售价、进价和利润之间的关系，列方程，解得．
设亏损25%的那件衣服的进价是元，那么它的利润就是元，根据销售价、进价和利润之间的关系，列方程，解得．
于是＝48＋80＝128＞120，所以卖出这两件衣服总的是盈利的．
（4）模型应用
应用1  “打折销售”是商家进行促销活动的常用手法之一，商家常常将“打折销售”说成是“亏本大甩卖”．电器商场的一种新型电子产品按每件600元卖出时，可获利50%．在促销活动中该电子产品按标价的七折售出，商场卖出该电子产品亏本了吗？说说你的理由．
应用2  某件商品进价为250元，按标价的九折销售时，利润为15.2%，这件商品的标价是多少？
应用3  一商场将每台彩电先按进价提高40%标出售价，然后广告宣传将以80%的优惠价出售，结果每台彩电赚了300元，则经销这种商品的利润率是多少?
应用4  某件商品进价是3 000元，标价为4 500元，商场规定该商品售出时利润率不低于5%．那么售货员在出售该商品时最多可以打几折？
销售中的盈亏问题的数学建模教学中，先将背景问题分解成2个小问题进行分析，降低教学的起点，以便全体学生从课堂教学的一开始都能真正进入到教学活动中去．紧跟其后的6个小问题带动学生拾级而上，引导学生在数学学习活动中探索规律、“创造”数学模型，使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感、态度与价值观等多方面得到进步和发展．数学模型中的量既可以是确定的固定的量，也可以是相对变化的量．通过对数学模型的量作了适当的处置，可以解决原本需要用不等式解决的“应用4”．通过建立数学模型、应用数学模型，学生的数学知识结构和数学思想方法的认识上升一个新台阶．
二、初中数学建模教学应突出数学思想方法
数学思想是数学知识的结晶，是高度概括的数学理论．数学方法是数学思想在数学活动中的反映和体现，它贯穿在知识的汲取、储存、加工、运用的全过程．在数学学习活动中，认识问题和解决问题，都是知识与方法相互作用的结果．初中数学中重要的数学思想有：字母代数的思想、转化与化归的思想、数形结合思想、分类的思想、方程与函数的思想、公理化思想等．数学方法有：类比法、归纳法、演绎法、配方法、换元法、待定系数法、数形结合法等．这些思想方法相互联系，相互渗透，相互补充，将整个数学知识构成一个有机和谐统一的整体．数学建模教学要重视数学知识，更应突出数学思想方法．
 [案例2] 圆周角定理的建模教学
1、背景问题
（1）如图1所示，、是⊙O中的所对的两个圆周角，分别量出这两个圆周角的度数，比较一下它们的大小．再变动点在圆周上的位置，这时圆周角的度数有没有变化？你能发现什么规律吗？
（2）再量出图中所对的圆心角的度数，你又有什么发现?（人教版数学九年级上册第91页）
2、模型建立
（1）模型猜想
同弧所对的圆周角的度数相等，都等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．
（2）验证猜想
问题1  你选择先证明“同弧所对的圆周角相等”，还是先证明“弧所对的圆周角的度数等于这条弧所对的圆心角的度数的一半”？说说你的理由？
归纳  选择先证明“弧所对的圆周角的度数等于这条弧所对的圆心角的度数的一半”． 因为①随着在圆周上的位置发生变化，得到许多个圆周角，而这条弧所对的圆心角只有一个；②如果“弧所对的圆周角的度数等于这条弧所对的圆心角的度数的一半”成立，那么“同弧所对的圆周角的度数相等”自然成立．
问题2  按照圆心与圆周角的位置关系，变动在圆周上的位置时所得到许多个圆周角可以分成几种情况？
归纳  按照圆心与圆周角的位置关系，圆周角分三种情况：（1）圆心在圆周角的一边上；（2）圆心在圆周角的内部；（3）圆心在圆周角的外部．
问题3  在这三种情况中，你选择先证明哪一种情况？说说你的理由．
归纳  选择先证明“圆心在圆周角一边上”的．因为此时为圆的直径，这是一种特殊情况．
问题4  如图2所示，圆心在圆周角的一条边上，你怎样证明？
归纳  转化为证明．
问题5  如图3所示，圆心在圆周角的内部，你怎样证明？
归纳  因为“圆心在圆周角的一条边上”时，“弧所对的圆周角的度数等于这条弧所对的圆心角的度数的一半”．所以作过圆周角的顶点的直径，将“圆心在圆周角的内部”的情况转化为“圆心在圆周角的一条边上”的情况来证明．
问题6  如图4所示，圆心在圆周角的外部，你怎样证明？
归纳  与证明“圆心在圆周角的内部” 的情况类似，作过圆周角的顶点的直径，将“圆心在圆周角的外部”的情况转化为“圆心在圆周角的一条边上”的情况来证明．
（3）建立模型
① 因为在 “圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部”三种情况下，“弧所对的圆周角的度数等于这条弧所对的圆心角度数的一半”都成立, 所以“同弧所对的圆周角都相等”．
② 问题  在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角有怎样的关系？想一想，在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心周有怎样的关系？
③ 圆周角定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角的相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
3、模型应用
应用1  半圆所对的圆周角等于多少度？说说你的理由．
应用2  的圆周角所对的弦一定是直径吗？为什么？
应用3  如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形一定是直角三角形吗？为什么？
应用4  在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等吗？为什么？
应用5  已知⊙O的直径为，弦为，的平分线交⊙O于，求、、的长（图略）．
圆周角定理的数学建模教学中，首先动手实验，再对实验进行分析研究，然后才猜测存在的规律，培养学生实验、观察、分析、猜
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