圆的定义：
  1．描述性定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点叫做圆心，叫做半径．
  2．集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径．
  3．圆的表示方法：通常用符号表示圆，定义中以为圆心，为半径的圆记作”“，读作”圆“．
4．同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆．
注意：同圆或等圆的半径相等．
弦和弧
  1． 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．
  2． 直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的倍．
  3． 弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．
4． 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以为端点的圆弧记作，读作弧．
  5． 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．
  6． 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
  7． 优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
  8． 弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．
圆心角和圆周角
  1． 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为等份，每一份的弧对应的圆心角，我们也称这样的弧为的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．
  2． 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．
  3． 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
     推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．
     推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．
     推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
  4． 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．
     推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．
圆是平面几何中的一个重要内容．由于圆与直线型图形可组合成一些复杂的几何问题，所以它经常出现在数学竞赛中．
圆的基本性质有：
⑴　直径所对的圆周角是直角．
⑵　同弧所对的圆周角相等．
⑶　经过圆心及一弦中点的直线垂直平分该弦．
圆的对称性
圆的对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线是它的对称轴；圆是中心对称图形，对称中心是圆心；圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度角，总能与自身重合．
⑴ 旋转对称性：无论绕圆心旋转多少度它都能与自身重合，对称中心为圆心．
圆的旋转对称性弦、弧、弦心距，圆心角之间的关系：
在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距这四组量中，只要有其中一组量相等，则其余三组量也分别相等，其相互推导关系如下图：
注意：①前提条件是在同圆或等圆中；
②在由等弦推出等弧时应注意：优弧与优弧相等；劣弧与劣弧相等．
⑵ 轴对称性：它的任意一条直径所在的直线均为它的对称轴．
圆的轴对称性垂径定理：垂直于弦的直径平分弦、并且平分弦所对的两条弧．
垂径定理
1． 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
2． 推论1：⑴ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
           ⑵ 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
           ⑶ 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
3． 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．
注意：应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有：，根据此公式，在，，三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量．
板块一、圆周角定理
⑴(09四川凉山)如图，是的外接圆，已知，则的大小为__________．
⑵(2007浙江温州)如图，已知是的圆周角，，则圆心角是       ．
⑶(宜宾中考)已知：如图，四边形是的内接正方形，点是劣弧上不同于点的任意一点，则的度数是(    )
⑷(08龙岩)如图，量角器外沿上有两点，它们的度数分别是，则的度数为_________．
⑸（2010海淀期末考试）如图，是的直径，是的弦．若，则 的大小为（    ）
A．      	B．        C．       	 D．
⑴(08山东滨州)如图所示，是的直径，，与交于点，则图中与相等的角有(    )
A． 2个   B． 3个      C． 4个        D． 5个
⑵已知的弦长等于圆的半径，求该弦所对的圆周角        ．(07重庆)已知，如图：为的直径，，交于点，交于点，．给出以下五个结论：①，；②；③；④劣弧是劣弧的倍；⑤．其中正确结论的序号是            ．
(年威海中考题)如图，是的直径，点，，都在上，若，求．
    如图，已知的度数为，求和的度数
（2006年“信利杯”全国初中数学竞赛广西赛区初赛）如图，是上的四点，且满足，判断的形状，并证明你的结论
过上一点作弦，使，如图，过点作于，
于，求证：
如图，已知的半径为，是直径同侧圆周上的两点，的度数为，的度数为，动点在上，求的最小值
如图，是单位圆，是两条直径，，点在上，设，则的取值范围为        
已知：如图，是的直径，点是半圆上一个三等分点，点是的中点，是上一动点，的半径为，则的最小值是_____________．
(09浙江衢州)如图，是的直径．
⑴ 如图1，垂直于的两条弦，把圆周等分，则的度数是___________，的度数是；
⑵ 如图2，垂直于的三条弦把圆周等分，分别求的度数；
⑶ 如图3，垂直于的条弦把圆周等分，请你用含的代数式表示的度数(只需直接写出答案)．
已知，如图为中劣弧的三等分点，为弦的三等分点，连接并延长，交直线于点，连接交于两点，求证：．
板块二、垂径定理
⑴(07年广州中考题)如图，是的外接圆，于点，交于点，，    
如果的半径为，则结论错误的是(   )
A．    B．     C．     D．
⑵如图，矩形与圆心在上的交于点，，，，则_________．
如图所示，在中，，，若以为圆心、的长为半径的
圆交于，则          ．
    如图所示，在与三角形所组成的图形中，，求证．
如图所示，同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点，试证明：．
(08郴州)已知在中，半径，是两条平行弦，且，求的长．
⑴在半径为的中，弦的长分别为和，则的度数为________．
     ⑵已知的直径是，的两条平行弦，，求弦与间的距离．
(2008广东湛江)如图所示，已知为的直径，是弦，且于点．连接．
⑴ 求证：．
⑵ 若，求的直径．
(09湖北黄石)如图，是的直径，且，弦的长为，若弦的两端在圆上滑动时，始终与相交，记点到的距离分别为，则 等于(    )
A．             B．           C．             D．
    （太原市初三数学统练试题）如图，已知点在线段上，分别以为直径作，过点作直线交于，交和于，求证：
如图，在中，弦垂直于直径，是的中点，的延长线交于，交于，求证：
板块三、圆中弦心距、弦、弧、圆心角、圆周角的综合
如图，如图，与相交于两点，过的圆心，过作直线分别交两圆于，连结，交于，求证：
如图，直线与相交于点，为的直径，且，直线与半径垂直于，求证：
⑴ 若中等于的劣弧所对的弦长为，则的半径是_______．
⑵ 在半径为的圆中，垂直平分半径的弦长是_______．
⑶ 如图，同心圆中，大圆的弦交小圆于两点，，的弦心距等于，那么，大圆半径与小圆半径之比是_________．
如图，已知的半径是，点到圆心的距离为，求过点的所有弦中最短弦的长度．
如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为，则该半圆的半径为______．
(08沈阳)如图，是的弦，，垂足为，交于点，点在上．
⑴ 若，求的度数；
⑵ 若，，求的长．
如图，为外一点，过点引两条割线和，点分别是的中点，连结交，与．求证：为等腰三角形．
如图，过的直径上两点，分别作弦，若．求证：⑴ ；⑵ ．
(09湖北荆门)如图，半径为的内有互相垂直的两条弦相交于点．
⑴ 求证：；
⑵ 设的中点为，连结并延长交于，求证：；
⑶ 若，求的长．
                                                     1 / 9
所对的
第9讲.圆中的基本概念和性质.doc