希望杯第四届（1993年）初中一年级第2试试题
选择题:（每题1分，共10分）
1.的值是 (    )
A．-11110．	B．-11101．C．-11090．	D．-11909．
2．一滴墨水洒在一个数轴上，根据图24中标出的数值，可以判定墨迹盖住的整数个数是(    )
A．285．	B．286．C．287．	D．288．
3．a，b都是有理数，代数式a2+b2，a2-b2，(a-b)2，
(a+b)2，a2b2+1，a3b+1，a2+b2+0.1，2a2+3b4+1中，其值为正的共有(    )
A．3个．	B．4个．C．5个．	D．6个．
4．a，b，c在数轴上的位置如图25所示,则下列代数式中其值为正的一个是	(    )
 A.;  B.;  C.(1-a)(c-b);  D.ac(1-bc).
5．1993+9319的末位数字是	(    )
A．2．	B．4．  C．6．	D．8．
6．今天是4月18日，是星期日，从今天算起第19933天之后的那一天是	(    )
A．星期五．	B．星期六．C．星期日．	D．星期一．
7．n为正整数，302被n(n+1)除所得商数q及余数r都是正值．则r的最大值与最小值的和是	(    )   A．148．	B．247．C．93．	D．122．
8．绝对值小于100的所有被3除余1的整数之和等于	(    )
A．0．	B．-32．C．33．	D．-33．
9．x是正数， 表示不超过x的质数的个数，如 =3．即不超过5.1的质数有2，3，5共3个．那么  + + × ×  的值是(    )
A．12．	B．11．C．10．	D．9．
10．如图26是一个长为a，宽为b的矩形．两个阴影图形都是一对长为c的底边在矩形对边上的平行四边形．则矩形中未涂阴影部分的面积为(    )
A.ab-(a+b)c．B．ab-(a-b)c． C．(a-c)(b-c)．D．(a-c)(b+c)．
二、填空题（每题1分，共10分）
1．在1993.4与它的负倒数之间共有a个整数．在1993.4与它的相反数之间共有b个整数,在-与它的绝对值之间共有c个整数,则a+b+c=_________.
2．设a=1÷2÷3÷4，b=1÷(2÷3÷4)，c=1÷(2÷3)÷4，d=1÷2÷(3÷4)，则(b÷a)÷(c÷d)=______．
3．两个同样的大小的正方体形状的积木．每个正方形上相对的两个面上写的数之和都v 等于-1，现将两个正方体并列放置．看得见的五个面上的数字如图27所示，则看不见的七个面上的数的和等于______． 
4．计算:
  =__________.
5.是一个五位自然数,其中a,b,c,d，e为阿拉伯数码，且a＜b＜c＜d，则|a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-e|的最大值是______．
6．连续的1993个自然数之和恰是一个完全平方数．则这1993个连续自然数中最大的那个数的最小值是______．
7．某次竞赛满分为100分，有六个学生的得分彼此不等，依次按高分到低分排列名次．他们六个人的平均分为91分，第六名的得分是65分．则第三名的得分至少是______分．
8.计算:=________.
9．若a，b，c，d为非负整数．且(a2+b2)(c2+d2)=1993．则a+b+c+d=______．
10．有甲、乙、丙、丁四位同学去林中采蘑菇．平均每个采得蘑菇的个数约是一个十位数字为3的两位数,又知甲采的数量是乙的,乙采的数量是丙的倍,丁比甲多采了3个蘑菇,则丁采蘑菇______ 个.
三、解答题（在试卷背面写出推理、运算的过程及最后结果．每题5分，共10分）
如图28，十三个边长为正整数的正方形纸片恰好拼成一个大矩形（其中有三个小正方形的边长已标出字母x，y，z）．试求满足上述条件的矩形的面积最小值．
2．你能找到三个整数a，b，c，使得关系式(a+b+c)(a-b-c)(a-b+c)(b+c-a)=3388成立吗？如果能找到，请举一例，如果找不到，请说明理由．
答案与提示
一、选择题
1．C  2．C 3．A  4．A  5．C  6．B 7．A 8．D  9．B 10．C
提示：
=10-100-1000-10000=-11090．选C．
2．在-109.2与-11.9之间最小整数是-109，最大整数是-12．共计包含(-12)-(-109)+1=98个整数．max.book118.com含最小整数是11，最大整数是199．共计包含199-11+1=189个整数．因此墨水共盖住98+189=287个整数．选C．
3．当a=b=0时，a2+b2，a2-b2，(a-b)2，(a+b)2取值为0，而当a=-1，b=1时a3b+1=0．因此对任意有理数a，b其值为正的只有a2b2+1，a2+b2+0.1，2a2+3b4+1，共3个选A．
ac(1-bc)＜0，所以选A．
5．1993=194×23+1，9319=934×4+3
所以1993与191的末位数相同是9、9319与933末位数字相同是7．因此1993+9310末位数字是9+7=16的末位数字6，选C．
6．19933=(284×7+5)3=(284×7)3+3×(287×7)2×5+3(287×7)×52+125．
所以19933被7除的余数与125被7除的余数相同，125=7×7+6．所以19933被7除余数为6．从4月18日星期日数起，每到第十天就是星期六，如4月24日是星期六，因此19933-6恰是星期六，再往后数6天，19933天是星期五．而19933天之后的那一天应是星期六，选B．
7．n(n+1)为偶数．设302被n(n+1)除商q余r，则302=n(n+1)q+r知，r为偶数．显然B、C均应排除．由除数n(n+1)只能取6，12，20，30，42，56，72，90，110，132，156，182，210，240，272这些值，计算得相应的余数中最小的正值为2，最大正值为146．所以r的正的最小值与最大值的和是148．选A．
8．即求-100与100之间被3除余1的整数之和，在0到100之间被3除余1的整数是1，4，7，…91，94，97共计33个．在-100到0之间被3除余1的整数是-98，-95，-92，-89，…-8，-5，-2．共33个其总和为-33．选D．
9． 为不超过19的质数，有2，3，5，7，11，13，17，19共8个． 为不超过93的质数，共24个，易知 =0．所以  + + × ×  =  +  = 8+24 = =11，选B．
10．解①大矩形面积为ab，两个阴影平行四边形面积分别为ac与bc．重叠部分面积为c2，所以未涂阴影部分面积为ab-ac-bc+c2=(a-c)(b-c)，选C．
解②将阴影部分等积变形如图29，两个阴影平行四边形面积及二者重叠部分面积(c2)均未改变．易见，未涂阴影部分面积为空白矩形的面积，是(a-c)(b-c)，选C．
二、填空题
提示：
1994个整数，a=1994。在1993.4与它的相反数-1993.4之间有2×1993+1=3987个整数，
3987=1=5982．
3．由于正方体上相对两个面上写的数之和都等于-1．所以每个正方体六个面上写的数之和等于-3．两个正方体共十二面上写的数之总和等于-6．而五个看得见的面上的数之和是1+2+3+4+5=15．因此，看不见的七个面上所写数的和等于
(-6)-15=-21．
5．若a＜b＜c＜d≤e时
|a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-e|=(b-a)+(c-b)+(d-c)+(e-d)=e-a．当e=9，a=1时取最大值为8．
若a＜b＜c＜d，且d＞e时．
|a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-e|=(b-a)+(c-b)+(d-c)+(d-e)=2d-a-e．当d=9，a=1，e=0时，取最大值17．所以|a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-e|的最大值是17．
6．设这连续的1993个自然数为
x-996，x-995，…，x-1，x，x+1，x+2，…，x+995，x+996．显然．x-996≥1，即x≥997．这1993个连续自然数之和设为σ．
则σ=1993x，要求σ为完全平方数，而1993又是质数，x的最小值为1993．此时，1993个连续自然数中最大的那个数x+996=1993+996=2989，即当σ为完全平方数时，1993个连续自然数中最大的那个数的最小值是2989．
7．设六个人的成绩依次为x1，x2，x3，x4，x5，x6．则65=x6＜x5＜x4＜x3＜x2＜x1≤100．
∴x1+x2+x3+x4+x5=546-65=481．
要使x3最小，必须x1，x2尽可能大，x4，x5尽可能接近x3，所以当x1=100，x2=99，x4=x3-1，x5=x3-2时，x3取最小值，即100+99+x3+(x3-1)+(x3-2)=481．
3x3=481-100-99+3=285．x3=95．
答：第三名的得分至少是95分．
9．因为1993是质数，a2+b2与c2+d2都是正整数，所以a2+b2与c2+d2分别取值1与1993（参见第一试填空第7题解答）．为确定起见；，不妨设a2+b2=1，c2+d2=1993．
(1)a2+b2=1．推知a＝0，b=1或a=1，b=0，因此a+b=1．
(2)c2+d2=1993．
若c≤31，d≤31，则c2+d2≤2×312
第四届希望杯初一2试及答案.doc