初一数学竞赛系列讲座(8) 解一次方程(组)与一次不等式(组) 知识要点 1、一元一次方程 方程中或者不含分母,或者分母中不含未知数,将它们经过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形后,能化为最简形式ax=b(a≠0),它只含有一个未知数,并且未知数的次数是1,系数不等于0,我们把这一类方程叫做一元一次方程。 解一元一次方程的一般步骤是:分母、去括号、移项、合并同类项、系数化成1。 2、方程ax=b(a、b为常数)的解的情形 当a≠0时,方程ax=b有唯一解 当a=0,b=0时,方程ax=b有无数多个解,即方程的解为任何有理数。 当a=0,b≠0时,方程ax=b无解。 3、一次方程组 解一次方程组的基本思想是“消元”,常用方法有“代入消元法”和“加减消元法” 4、不定方程 不定方程(组)是指未知数的个数多于方程个数的方程(组)。它的解往往有无穷多个,不能唯一确定,对于不定方程(组),我们常常限定只求整数解或正整数解。 定理:若整系数不定方程ax+by=c (a、b互质)有一组整数解为x0,y0,则此方程的全部整数解可表示为: 5、一次不等式(组) 只含一个未知数,而且未知数的最高次数是1的不等式称为一元一次不等式,它的一般形式是ax b或ax b (a≠0),任何一个一元一次不等式总可以通过去分母,去括号,移项,合并同类项化为一般形式,解不等式的根据是不等式的同解原理。 6、不等式的基本性质和同解原理 不等式的基本性质 反身性 如果a b,那么b b,b c,那么a c 平移性 如果a b,那么a+c b+c 伸缩性 如果a b,c 0,那么ac bc 如果a b,c 0,那么ac bc 不等式的同解原理1:不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,所得的不等式与原不等式是同解不等式。 不等式的同解原理2:不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,所得的不等式与原不等式是同解不等式。 不等式的同解原理3:不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,并把不等号改变方向后,所得的不等式与原不等式是同解不等式。 例题精讲 例1 解方程 分析:按常规去括号整理后再解,显然较繁,通过观察发现方程中只含有(x+1)、(x-1)项,因而可将(x+1)、(x-1)看作整体,先进行移项合并,则能化繁为简。 解:移项,得 合并,得 去括号,移项,可解得 x= -5 评注:本题是整体处理思想的应用。 例2 解关于x的方程 解:原方程整理得:(4m-3)x=4mn-3m 故 当4m-3≠0时,即 当4m-3=0时,即 此时,若 若 综上所述,当; 当; 当 评注:含参方程必须对参数进行讨论。 例3 解方程组 (1) (2) 分析:第一个方程组的(1)式是一个连比式,对于连比式常用连比设k法来解决。 第二个方程组的各式系数较大,直接用代入消元或加减消元比较繁,观察这个方程组的特点,将三式相加可得x+y+z,然后再用三式去分别减可得x、y、z的值。 解:(1)设,代入(2)得k=5 ∴x=10,y=15,z=20 ∴原方程组的解为 (2) (1)+(2)+(3)得22 (x+y+z)=44,所以x+y+z=2 所以3 (x+y+z)=6 (4) (1)-(4)得13x=4,则x= (2)-(4)得13y=8,则y= (3)-(4)得13z=14,则z= 所以原方程组的解为 评注:解方程组时,应对方程组的整体结构进行分析,从整体上把握解题方向。 例4 已知关于x,y的二元一次方程 (a-1) x+(a+2) y+5-2a=0,当a每取一个值时就有一个方程,而这些方程有一个公共解。你能求出这个公共解,并证明对任何a值它都能使方程成立吗? 分析1:将已知方程按a整理得(x+y-2)a=x-2y-5,要使这些方程有一个公共解,说明这个解与a的取值无关,所以只须a的系数x+y-2=0即可。 解法1:将方程按a整理得:(x+y-2)a=x-2y-5, ∵这个关于a的方程有无穷多个解,所以有 由于x、y的值与a的取值无关,所以对于任何的a值,方程组有公共解 分析2:分别取a=1和-2得方程3y+3=0和-3x+9=0,因a取不同的值,所得方程有一个公共解,所以这个公共解就是方程组的解。 解法2:令a=1,得:3y+3=0 令a= -2,得:-3x+9=0 解方程组得,则就是所求的公共解。 将x=3,y= -1代入(a-1) x+(a+2) y+5-2a=0得:3 (a-1) -(a+2) +5-2a=0 整理得0?a=0,说明无论a取什么值,方程总是成立。 评注:本题两种解法,第一种是将已知方程整理成关于a的形式,通过解与a无关,得出关于x、y的方程组,从而求出公共解。第二种是先探求公共解,再证明这个解与a无关。这两种解法的思路正好相反。 例5 求不定方程4x+y=3xy的一切整数解 解:由原方程得: ∵x是整数,∴3y-4=±1,±2,±4,由此得y= 取整数解y=2,1,0,对应的x=1,-1,0 所以方程的整数解为 评注:本题是用数的整除性来求不定方程的整数解。 例6 求方程123x+57y=531的全部正整数解 解:方程两边同除以3得:41x+19y=177 所以 ∵x、y是整数,∴也是整数,取x=2得y=5 ∴方程123x+57y=531的整数解为: 由 因此方程123x+57y=531只有一组整数解 评注:本题是通过先探求一个特解,由特解写出通解,再由通解求出整数解,这是求不定方程整数解的一般步骤。 例7 小明玩套圈游戏,套中小鸡一次得9分,套中小猴得5分,套中小狗得2分。小明共套10次,每次都套中了,每个小玩具都至少被套中一次。小明套10次共得61分。问:小鸡至少被套中几次?(第四届华杯赛初赛试题) 分析:设出未知数,列出不定方程,然后求不定方程的正整数解。 解:设套中小鸡x次,套中小猴y次,套中小狗z次,根据题意得 我们求这个方程组的正整数解。 消去z得:7x+3y=41,于是 则x ,从而x的值只能是1,2,3,4,5 由于y是整数,所以2-x必须是3的倍数,∴x=2,5 当x=2时,y=9,z= -1不是正整数;当x=5时,y=2,z= 3是本题的解。 答:小鸡至少被套中5次。 例8 解不等式:(1) (2x+1)2-7 (x+m)2+3x (x-1) (2) 解:(1) 原不等式可化为:(7-2m) x m2+6 ∴当m 即7-2m 0时,解为x 即7-2m 0时,解为x 当m= 即7-2m=0,m2+6=时,解为一切实数。 (2) 当x时,原不等式可化为 -x+4+2x-3≤1,解得x≤0 当时,原不等式可化为-x+4-2x+3≤1,解得x≥2 所以,原不等式的解为2≤x≤4 当x 4时,原不等式可化为x-4-2x+3≤1,解得x≥-2 所以,原不等式的解为x 4 综上所述,原不等式的解集为x≤0 或x≥2 评注:1、解含参不等式,一定要注意讨论未知数的系数,分大于0、小于0、等于0三种情况讨论。 2、解含绝对值的不等式,常用零点分段法将绝对值去掉再求解。 例9 已知m、n为实数,若不等式(2m-n) x+3m-4n 0的解集为,求不等式 (m-4n) x+2m-3n 0 的解。 解:由(2m-n) x+3m-4n 0得:(2m-n) x 4n-3m, 因为它的解集为,所以有 由(2)得 代入(1)得 m 0 把代入(m-4n) x+2m-3n 0得 ∵m 0 ∴ 所以,不等式(m-4n) x+2m-3n 0 的解集为 评注:本题的关键是确定未知数x的系数,从而才能求出不等式的解。方法是首先求出m、n的关系,再代入确定未知数x的系数。 例10 已知关于x的方程: ,当m为某些负整数时,方程的解为负整数,试求负整数m的最大值。 解:原方程化简整理得: 因为m为负整数,所以必为小于-1的负整数 所以 而要使为负整数,x必是21的倍数,所以x的最大值为-21 因为当x取最大值时,m也取得最大值,所以m的最大值为-3 巩固练习 选择题 1、方程的解是( ) A、2000 B、2001 C、2002 D、2003 2、关于x的方程的解是负数,则k的值为( ) A、k B、k C、k= D、以上解答都不是 3、已知xyz≠0,且,则的值为( ) A、 B、 C、- D、以上答案都不对 4、方程组的整数解的个数是( ) A、0 B、3 C、5 D、以上结论都不对。 5、如果关于x的不等式同解,则a
方程不等式.doc
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