方程思想(2) 一、概述与要点 方程思想在解题中的运用非常广泛,常见的类型可分为代数中的方程思想,几何问题中的方程思想及解决实际问题时的方程思想.在解决有关开放性的问题时,常常可利用方程思想解决有关存在性问题. 二、例题选讲 例1. 如图2-1,AD∥BC,∠D=90°,DC=7,AD=2,BC=3.若在边DC上在点P使与相似,则这样的点P有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3 D. 4个. 解:如图2-2,设 (1)若∽,则,即 ,解之得: (2)若∽,则,即 ,解之得: 综上所述,存在三个点P,使与相似. 答:选 C. 例2 如图,有甲、乙两楼,甲楼高AD是23米,现在想测量乙楼CB的高度.某人在甲楼的楼底A和楼顶D,分别测得乙楼的楼顶B的仰角为65°13′和45°,利用这些数据求乙楼的高度(结果精确到0.01米). 注:以下数据供计算中选用 65°13′=0.9078, 65°13′=0.4192, tg65°13′=2.1659. 解:如图2-4,过D作DE⊥BC于点E,设CB=, 据矩形ADEC得,DE=AC,CE=AD=23, 在 中, ∵∠BDE=45°,∴DE=BE=, 又在中, tg65°13′=, ∴ [(tg65°13′)-1] =23×tg65°13′ 解得,米. 答:乙楼BC的高为42.73米. 例3.在矩形ABCD中,AB=20cm,BC=4cm,点P从A开始沿折线A-B-C-D以4cm/s的速度移动,点Q从C开始沿CD边以1cm/s的速度移动,若点P、Q分别从A、C同时出发,当其中一点到达D时,另一点也随之停止运动,设运动时间为t(s).(1)当t为何值时,四边形APQD为矩形?(2)如图2,如果⊙P和⊙Q的半径都是2cm,那么t为何值时,⊙P和⊙Q外切? 图 2-3. 图 2-4. 解:(1)据题意,当AP=DQ时,由AP∥DQ,∠A=90°,得四边形APQD为矩形. 这时, ,解得.∴时,四边形APQD为矩形. (2)若⊙P和⊙Q外切,则PQ=4. 这里分4种情况讨论如下: ①当P在AB上运动时,只有当四边形APQD为矩形时满足要求,.∴. ②当P在BC上运动时,则,这时两圆外离. ③当P在CD上运动,且点P在点Q的右边时,则,.∴解得 ④当P在CD上运动,且点P在点Q的左边时,,∴ 解得 ∵点P从A到D要11点Q从C到D要20 ∴当为时,均有⊙P和⊙Q外切. 例4 (2004吉林)如图,已知抛物线与轴交于A、B两点,与轴交于点D(0,8),直线DC平行于轴,交抛物线于另一点C.动点P以每秒2个单位长度的速度从点C出发,沿C→D运动.同时,点Q以每秒1个单位长度 图 2-5 的速度从点A出发,沿A→B运动.连接PQ、CB.设点P的运动时间为秒.(1)求的值;(2)当为何值时,PQ平行于y轴;(3)当四边形PQBC的面积等于14时,求的值. 解:(1)∵D(0,8)在抛物线上,∴∴ (2) 时, 当时,∴∴C点坐标为(6,8). 当时, ∴A点坐标为(2,0),B点坐标为(4,0). ∵以CP=AQ= ∴点P坐标为(点Q坐标为( 由得即当秒时,PQ平行于y轴. (3) 由得即当秒时,四边形PQBC的面积等于14. 三、习题精练 1.在一次数学实践活动中,为了测量河对岸大楼AB的高度,某同学从与大楼底部B在同一水平直线上的C、D两处,用测角仪测得楼顶A的仰角分别为25°和33°,已知测角仪的高D1D=C1C=1.52米,CD=20米,求楼高(精确到0.01米). (参考数据: 图 2-6 2.如图2-7,梯形ABCD中,AD∥BC,AD=3cm,BC=7cm,∠B=60°,P为下底BC上一点(不与B、C重合),连接AP,过P点作PE交DC于E,使得∠APE=∠B.(1)求证:∽;(2)求等腰梯形的腰AB的长;(3)在底边BC上是否存在一点P,使得DE∶EC=5∶3,如果存在,求BP长,如果不存在,请说明理由. 图 2-7 图 2-8 3.如图2-8,在中,圆A的半径为1,若点O在BC上移动(与点B、C不重合),设的面积为, (1)求关于的函数解析式,并写出函数的定义域; (2)以点为圆心,长为半径作圆,求当圆与圆相切时,的面积. 4.已知抛物线与轴交于两点,且抛物线与轴交于点C,OB=2OA. (1)求抛物线的解析式; (2)在轴上,点A的左侧,求一点E,使与相似,并说明直线EC经过(1)中抛物线的顶点D; 5.如图,2-9,正方形ABCD的边长为10,E、F是BC和CD上的点,为正三角形,求的面积. 图2-9 习题答案 1. 34.60(米). 2. (2)AB=4,(3) 3. (1);(2)当圆与圆外切时,;(3)当圆与圆 内切时, 4. (1)(2)E(-8,0).直线EC解析式为:抛物线的顶点为,∴D在直线EC上. 5. 4
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